La primera cantidad que podemos escribir como un tensor es la densidad de corriente eléctrica.
En el sistema de referencia propio de una nube de cargas, la densidad de carga eléctrica es:
$$ \rho_0=\frac{\sum q_i}{V_0} $$En un sistema de referencia inercial arbitrario sabemos que la carga es invariante pero el volumen transforma como $V=V_0/\gamma$ de modo que la densidad en el sistema del observador:
$$ \rho=\gamma\rho_0 $$Por otro lado la densidad de carga eléctrica de una nube que se mueve con velocidad $\vec v$ respecto al observador es:
$$ \vec J = \rho \vec v = \gamma \rho_0 \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t} $$Al comparar las cantidades anteriores con el cuadrivector velocidad podemos ver que tanto $\rho$ como $\vec J$ se pueden considerar las componentes temporal y espacial del cuadrivector:
$$ J^\mu=\rho_0 U^\mu:\gamma\rho_0(c,\vec{v}):(c\rho,\vec{J}) $$En términos de la cuadricorriente la ecuación de continuidad o de conservación de la carga se puede escribir como:
\begin{eqnarray} \nonumber \frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot\vec J&=&0\\ \nonumber \frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial J_{i}}{\partial x_{i}}&=&0\\ \nonumber \frac{\partial J^0}{\partial x^0}+\sum_i\frac{\partial J_{i}}{\partial x^i}&=&0 \end{eqnarray}y usando la notación de Einstein:
$$ \partial_\mu J^\mu=0 $$Usando la notación de la derivada coma, la ecuación de continuidad se escribe finalmente como:
$$ {J^\mu}_{,\mu}=0 $$Esta es la forma manifiestamente covariante de la ecuación de continudad.
Habíamos escrito las ecuaciones $\mathrm{(Gauss-E)}$ y $\mathrm{(Ampère-Maxwell)}$ como:
\begin{eqnarray} \nonumber \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\vec{\nabla}^2\phi & = & 4\pi\rho\\ \nonumber \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec A}{\partial t^2}-\vec{\nabla}^2\vec A & = & \frac{4\pi}{c}\vec J \end{eqnarray}En estas ecuaciones se pueden reconocer algunas propiedades importantes para nuestro propósito:
El operador diferencial en las dos ecuaciones se puede escribir en términos de la derivada covariante como:
$$ \Box\equiv\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\vec{\nabla}^2=\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu=\partial_\mu \partial^\mu $$ donde $\eta^{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ es la inversa de la métrica de Minkowski que es igual a ella misma. Llamamos a este el operador d'Alambertiano.
El lado derecho de las dos ecuaciones son las componentes de la cuadricorriente $\tilde J$.
De este modo las ecuaciones se pueden escribir como:
\begin{eqnarray} \nonumber \partial_\mu \partial^\mu \left(\frac{\phi}{c}\right) & = & \frac{4\pi}{c} J^0\\ \nonumber \partial_\mu \partial^\mu \vec A & = & \frac{4\pi}{c} \vec{J}\\ \end{eqnarray}Es decir si definimos la cantidad:
$$ A^\mu:(\phi/c,\vec A) $$las ecuaciones inhomogéneas de Maxwell se pueden escribir de forma manifiestamente covariantes como:
$$ \partial_\mu \partial^\mu A^\nu = \frac{4\pi}{c} J^\nu $$y de la naturaleza tensorial de las cantidades involucrados podemos deducir que $A^\nu$ es también un tensor que podríamos llamar el cuadripotencial electromagnético.
O usando la notación coma:
$$ {{A^\nu}_{,\mu}}^{,\mu}=\frac{4\pi}{c} J^\nu $$Nótese que el cuadripotencial se puede obtener mediante la integral:
$$ A^\mu(\tilde x)=\frac{1}{c}\int_\Omega\frac{J^\mu(\tilde x')\mathrm{d}^3\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|} $$donde imponemos adicionalmente la condición que el intervalo entre los evento $\tilde x'$ con respecto al evento $\tilde x$, $\Delta \tilde x=\tilde x-\tilde x'$ debe ser luminoide:
$$|\Delta \tilde x|=0$$que es el equivalente a la condición de retraso en la formulación clásica.
Ahora bien, por el gauge de Lorenz:
$$ \frac{1}{c}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\partial_\mu A^\mu=0 $$