Relatividad y Gravitación

Teoría, algoritmos y problemas

Jorge I. Zuluaga

Profesor Titular de Física y Astronomía

Instituto de Física, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Antioquia

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Tabla de Contenido

Índice de materias

• Relatividad Especial.
  • Motivación.
  • Conceptos básicos.
  • Principio de homogeneidad e isotropía del espacio-tiempo.
  • La relatividad Newtoniana.
  • El problema del electromagnetismo.
  • ¿Son covariantes las ecuaciones de Maxwell?.
  • Las transformaciones de Lorentz-Einstein.
  • Propiedades de las TLE.
    • Unidades luz.
    • La TLE como una rotación hiperbólica.
    • Las TLE y la notación de Einstein.
    • Inversa y transpuesta de las TLE.
    • De las TLE a los tensores.
    • Las TLE generales.
    • El valor del factor de Lorentz-Einstein.
    • Mapas de la TLE.
  • Consecuencias de las TLE.
    • Transformación de los intervalos.
    • Dilatación temporal.
    • Intervalos espacialoides y temporaloides.
    • El postulado de los relojes.
    • Contracción de longitudes.
    • Adición de velocidades.
    • Transformación de aceleraciones.
  • El espacio-tiempo de Minkowski.
    • La norma de Minkowski.
    • Las variedades de Lorentz y la métrica de Minkowski.
    • Métrica y tipos de intervalos.
    • Métrica y tiempo propio.
    • Métrica, dilatación del tiempo y contracción de longitudes.
    • Vectores y cálculo en el espacio de Minkowski.
    • Minkowski y el postulado de los relojes.
    • Transformación general de cuadrivectores.
  • Cinemática relativistica.
    • Motivación.
    • Descripción de una línea de universo.
    • Cuadrivelocidad.
    • Cuadriaceleración.
    • Movimiento con cuadriaceleración constante.
    • La velocidad límite.
    • Ejemplo: una nave interestelar.
  • Dinámica relativista.
    • Masa invariante.
    • Momentum relativista.
    • Cuadrimomentum.
    • Magnitud del cuadrimomentum y la simetría gauge.
    • Cuadrimomentum en el espacio-tiempo.
  • Colisiones relativistas.
    • Energía en el centro de masa.
    • Colisiones relativistas interactivas.
  • Cuadrifuerza.
    • Reglas de transformación de la fuerza.
    • La fuerza de Lorentz.
    • Movimiento circular bajo la fuerza de Lorentz.
    • Ecuación de movimiento relativista.
  • Síntesis de Mecánica Relativista.
    • Síntesis de cinemática relativista.
    • Síntesis de dinámica relativista.
  • Óptica relativista.
    • Efecto Doppler relativista.
    • Aberración de la luz.
    • Aberración de la luz.
    • Enfoque relativista.
  • Electrodinamica manifiestamente covariante.
    • Ecuaciones de la electrodinámica.
    • La cuadricorriente.
    • Ecuaciones de Maxwell inhomogéneas.
    • Los campos en términos tensoriales.
    • El tensor de Faraday.
    • Ecuaciones de Maxwell y el tensor de Faraday.
    • Álgebra computacional del Tensor de Faraday.
    • Transformación de los campos.
    • La fuerza de Lorentz.
    • Intrepretación geométrica del campo de Faraday.
    • Síntesis.
      • Campo producido por una carga en movimiento.
      • Campo producido por un alambre recto.
  • Problemas Seleccionados.
• Relatividad General.
  • Motivación.
  • Principios y postulados básicos.
    • Principio de Equivalencia.
      • Principio de Galileo.
      • Principio de igualdad de las masas.
      • Principio de equivalencia de Einstein.
    • Principio de covarianza general.
    • Tensores generales.
  • Transporte paralelo y derivada covariante.
    • El gradiente no es un tensor general.
    • Transporte paralelo.
    • Derivada direccional general.
    • Los símbolos de Christoffel.
    • Cálculo de los símbolos de Christoffel.
      • Los símbolos de Christoffel de una métrica diagonal.
      • Símbolos de Christoffel del espacio-tiempo plano.
      • Símbolos de Christoffel de una superficie esférica.
      • Símbolos de Christoffel de una métrica general.
    • Cálculo computacional de los símbolos de Christoffel.
    • Relatividad numérica.
  • Derivada total general y geodésicas.
    • Derivada total general.
    • Derivada total y transporte paralelo.
    • Transporte paralelo y bases vectoriales.
    • Bases y componentes vectoriales en espacio curvo.
    • Ejemplos numéricos de transporte paralelo.
      • Transporte paralelo en coordenadas cilíndrica.
      • Transporte paralelo sobre una esfera.
    • Ecuación geodésica.
    • Ejemplos numéricos de geodésicas.
      • Geodésica en coordenadas cilíndricas.
      • Geodésica sobre la superficie de una esfera.
  • La geodésica y un principio variacional.
  • Geodésicas y movimiento inercial.
  • Geodésicas en campo débil.
    • Un ejemplo numérico.
  • Simetrías y cantidades conservadas.
    • La métrica como constante.
    • Coordenadas cíclicas y vectores de Killing.
    • Ejemplo: geodésicas en coordenadas cilíndricas.
    • Ejemplo: geodésicas sobre una esfera.
    • Ejemplo: geodésicas en la métrica de Newton.
    • Propiedades del tensor de Riemann.
    • Tensor de Riemann para métricas diagonales.
    • Cálculo del tensor de Riemann.
    • Desviación geodésica.
    • Ejemplo numérico.
  • Principio de consistencia.
  • Una ecuación de campo general.
  • Tensor de momentum-energía.
    • Tensor de momentum-energía para una nube de partículas.
    • Tensor de momentum-energía para polvo.
    • Tensor $T^{\mu\nu}$ y el tensor de esfuerzos $\sigma^{\mu\nu}$.
    • Tensor de momentum-energía para fluído perfecto.
    • La conservación de $T^{\mu\nu}$ y la ecuación geodésica.
  • La ecuación de campo métrico.
    • El tensor de Einstein.
    • Una ecuación de campo general.
    • El término cosmológico.
    • La ecuación de Hilbert-Einstein.
  • Gravedad linearizada.
    • Inversa de la métrica linearizada.
      • Símbolo de Christoffel linearizado.
    • El tensor de Riemann linearizado.
      • El tensor de Ricci linearizado.
    • El tensor de Einstein linearizado.
    • El tensor momentum-energía.
    • Ecuación de campo linearizada en el vacío.
    • Libertad gauge.
    • El gauge armónico.
    • La ecuación de campo en el gauge armónico.
    • La ecuación de campo con fuentes.
    • La métrica postnewtoniana.
    • Analogía electromagnética.
• Aplicaciones de la relatividad general.
  • Ondas gravitacionales.
    • Historia de las ondas gravitacionales.
    • Un programa de estudio.
    • Ecuación de onda en el vacío.
    • Solución general a la ecuación de onda.
    • El gauge transversal de traza cero.
    • Geodésicas en una onda gravitacional.
    • Distancias en una onda gravitacional.
    • Detectores de ondas gravitacionales.
      • Sensibilidad de los detectores.
    • Simulación de una señal.
      • Detector con orientación arbitraria.
      • Suma de ondas gravitacionales.
      • Implementación numérica.
    • Emisión de ondas gravitacionales.
      • Fuente puntual.
      • Fuente extendida y sus aproximaciones.
      • Solución a la ecuación de campo con fuentes.
    • Energía transportada por ondas gravitacionales.
    • La fórmula del cuadrupolo.
    • Analogía con el electromagnetismo.
    • Síntesis de emisión de ondas gravitacionales.
    • Estimaciones de la intensidad y la frecuencia.
      • Primera fuente de radiación gravitacional detectada.
      • Estimativos ondas gravitacionales de sistemas binarios.
    • Radiación gravitacional de sistemas binarios.
  • Agujeros negros.
    • Historia de los agujeros negros.
    • Un temario.
    • Métrica de Schwarzschild.
    • Cantidades asociadas a la métrica.
    • Integración numérica.
    • Coordenadas y medidas.
    • Dilatación gravitacional del tiempo.
    • Corrimiento al rojo gravitacional.
    • Contracción de longitudes.
    • Movimiento geodésico en la métrica de Schwarzschild.
    • Constantes de movimiento.
    • Caída libre en un agujero negro.
    • Coordenadas avanzadas de Eddington-Finkelstein.
    • Coordenadas de Painlevé-Gullstrand.
    • Coordenadas de Kruskal-Szekeres.
  • Cosmología relativista.
    • Plan de temas.
    • Propiedades del universo.
    • Principios básicos.
    • La métrica del Universo.
      • Espacio plano.
      • Espacio curvo cerrado.
      • Espacio curvo abierto.
    • La métrica de Robertson-Walker.
    • Las ecuaciones de Friedmann.
    • El parámetro $\Omega$.
    • Evolución de la densidad cósmica.
      • Densidad de materia.
      • Densidad de radiación.
      • Densidad de energía oscura.
      • Densidad de curvatura.
    • Ecuación de Friedmann y densidad cósmica.
    • Tiempo de expansión.
    • Distancias cosmológicas.
      • Distancia comovil.
      • Distancia luminosa.
    • Corrimiento cosmológico.
    • La ley de Hubble-Lemaitre y la densidad crítica.
      • Densidad crítica.
• Apéndices.
  • Códigos útiles.
    • Cálculo numérico de los símbolos de Christoffel.
    • Ecuación geodésica con símbolos numérios.
    • Cálculo analítico de tensores en relatividad general.

Índice de figuras

• Figuras en 01.02.03.00.RelatividadEspecial.TransformacionesLorentzEinstein.Consecuencias
  • Figura 1.6. Tipos de intervalos en el espacio-tiempo.
  • Figura 1.8. Línea de Universo.
• Figuras en 01.04.01.00.RelatividadEspecial.CinematicaRelativista.Definiciones
  • Figura 1.11. Trayectoria en el espacio-tiempo.
• Figuras en 01.04.02.00.RelatividadEspecial.CinematicaRelativista.AceleracionPropiaConstante
  • Figura 1.15. Cambios en la cuadrivelocidad y la cuadriaceleración.
  • Figura 1.16. Nave interestelar.
• Figuras en 01.05.02.00.RelatividadEspecial.DinamicaRelativista.ColisionesRelativistas
  • Figura 1.20. Umbral GZK.
• Figuras en 01.07.00.00.RelatividadEspecial.OpticaRelativista
  • Figura 1.24. Figura.
  • Figura 1.25. Aberración de la luz estelar.
  • Figura 1.26. Aberración de dos estrellas.
  • Figura 1.28. Jet de M87.
• Figuras en 01.08.03.00.RelatividadEspecial.Electrodinamica.TensorFaraday
  • Figura 1.29. Tensor de esfuerzos..
• Figuras en 02.02.00.00.RelatividadGeneral.TransporteParalelo
  • Figura 2.31. Transporte paralelo..
  • Figura 2.32. Derivada direccional..
• Figuras en 02.03.00.00.RelatividadGeneral.SimbolosChristoffel
  • Figura 2.33. Ejemplo de transporte paralelo.
• Figuras en 02.04.00.00.RelatividadGeneral.Geodesicas
  • Figura 2.38. Definición de geodésica en el espacio-tiempo plano y sobre la superficie de una esfera..
• Figuras en 02.06.00.00.RelatividadGeneral.Curvatura
  • Figura 2.43. Figura.
  • Figura 2.44. Transporte paralelo sobre una esfera.
  • Figura 2.45. Figura.
• Figuras en 03.01.02.00.Aplicaciones.OndasGravitacionales.Deteccion
  • Figura 3.50. Ilustración gráfica de cómo al paso de una onda gravitacional las coordenadas de las partículas de prueba se mantienen constantes pero su distancia mutua cambia con el tiempo..
  • Figura 3.54. Detector de ondas gravitacionales de Joseph Weber.
  • Figura 3.55. Diseño básico para un interferometro de ondas gravitacionales como el que usa hoy el LIGO.
  • Figura 3.57. Diseño real de un interferometro de ondas gravitacionales como el que usa hoy el LIGO.
  • Figura 3.58. Sensibilidad de LIGO avanzado como función de la frecuencia de las ondas gravitacionales detectadas. La sensibilidad esta expresada en términos de lo que se conoce como la amplitud de densidad espectral que tiene unidades del inverso de la raíz cuadrada de la frecuencia..
• Figuras en 03.01.05.00.Aplicaciones.OndasGravitacionales.FuentesAstrofisicas
  • Figura 3.61. Primera señal de ondas electromagnéticas detectada GW150914..
• Figuras en 03.02.00.00.Aplicaciones.AgujerosNegros
  • Figura 3.62. Karl Schwarzschild.
  • Figura 3.63. Imagen del agujero negro supermasivo en el centro de la galaxia M87 obtenida por el Event Horizon Telescope el 10 de abril de 2019.
• Figuras en 03.02.03.00.Aplicaciones.AgujerosNegros.Coordenadas
  • Figura 3.72. Geodésica nula en las coordenadas de Finkelstein-Eddington.
  • Figura 3.73. Mapa del espacio tiempo en las coordenadas de Kruskal-Szekeres.
• Figuras en 03.03.00.00.Aplicaciones.CosmologiaRelativista
  • Figura 3.74. Ley de Hubble Lemaitre. En el eje vertical se muestra el módulo de distancia $.
  • Figura 3.75. Parámetro de Hubble.
  • Figura 3.76. Imagen del cúmulo de la bala mostrando la distribución reconstruída de materia oscura.
• Figuras en 03.03.01.00.Aplicaciones.CosmologiaRelativista.MetricaUniverso
  • Figura 3.77. Observadores fundamentales de acuerdo con el principio de Weyl.
• Figuras en 03.03.04.00.Aplicaciones.CosmologiaRelativista.LeyHubbleLemaitre
  • Figura 3.78. Dilatación del tiempo cosmológica.

Índice de ecuaciones

• Ecuaciones en 01.02.00.00.RelatividadEspecial.TransformacionesLorentzEinstein
  • Ec. (1.1): tg_t.
  • Ec. (1.2): tg_x.
  • Ec. (1.3): tg_t_sim.
  • Ec. (1.4): tg_x_sim.
  • Ec. (1.5): dtg_t.
  • Ec. (1.6): dtg_x.
  • Ec. (1.7): dtg_y.
  • Ec. (1.8): dtg_z.
  • Ec. (1.9): LF_z.
  • Ec. (1.10): Bz_LF.
  • Ec. (1.11): Ey_LF.
  • Ec. (1.12): LAM_y.
  • Ec. (1.13): Bz_LAM.
  • Ec. (1.14): Ey_LAM.
  • Ec. (1.15): Bpz_tg.
  • Ec. (1.16): Epy_tg.
  • Ec. (1.17): Bz_tg.
  • Ec. (1.18): Ey_tg.
  • Ec. (1.19): trans_lorentz_x.
• Ecuaciones en 01.02.01.00.RelatividadEspecial.TransformacionesLorentzEinstein.Propiedades
  • Ec. (1.20): TLE_generales.
• Ecuaciones en 02.04.00.00.RelatividadGeneral.Geodesicas
  • Ec. (2.21): derivada_e.
  • Ec. (2.22): g_edote.

Índice de códigos

• Código en 01.02.02.00.RelatividadEspecial.TransformacionesLorentzEinstein.Numericas
  • Código (1.1): TLE.
  • Código (1.2): mapa_TLE.
• Código en 02.04.00.00.RelatividadGeneral.Geodesicas
  • Código (2.3): transporte_paralelo.
  • Código (2.4): transporte_paralelo.