1.18. Problemas Seleccionados¶

Demostración de las derivadas. Demostrar que las derivadas parciales respecto a las coordenadas del espacio-tiempo transforman como:

$$ \frac{\partial}{\partial x^{\mu'}}=\Lambda^{\nu}_{\mu'} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} $$

Invariancia de la norma de Minkowski. Demostrar que la norma de Minkowski:

$$ \mathrm{d}s^2=\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}x_L^2-\mathrm{d}y_L^2-\mathrm{d}z_L^2 $$ es invariante bajo transformaciones de Lorentz-Einstein.

Invariancia de la norma de Minkowski. Demostrar que la métrica $g_{\mu\nu}$ definida como:

$$ \mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu $$ dond $\mathrm{d}s^2$ es un invariante, es un tensor covariante de rango 2.

Componentes de la cuadriaceleración. Partiendo de la definición de cuadrivelocidad demostrar que las componentes de la cuadriaceleración son:

$$ A^\mu_L : \gamma^4 (\vec{a}_L\cdot \vec{v}_L,\vec{a}_L) $$

Transformación de la fuerza. Dado que la componente espacial de la fuerza transforma como:

$$\gamma_v \vec{F}_L = \gamma_{v'}\vec{F}'_L+\left(\frac{\gamma_u-1}{u_L^2} \vec{u}_L\cdot \gamma_{v'}\vec{F}'_L + \gamma_u \gamma_{v'}\vec{\cal F}'_L\cdot\vec{v}'_L\right)\vec u_L$$

mostrar que si la velcidad de la partícula es paralela a la velocidad relativa de los sistemas de referencia, las componentes paralela y perpendicular de la fuerza transforman como:

\begin{eqnarray} \nonumber F_\parallel & = & \frac{F'_{L\parallel}+\vec u_L\cdot\vec{F}_L}{1+\vec{v}'_L\cdot \vec{u}_L}\\ \nonumber F_\perp & = & \frac{\gamma_u^{-1}F'_{L\perp}}{1+\vec{v}'_L\cdot \vec{u}_L}\\ \end{eqnarray}

Transformación de la fuerza. Demostrar que la ley de atracción gravitacional de Newton:

$$\vec F=\frac{G M m}{R^3}\vec{R}$$

no tranforma de acuerdo a las reglas de transformación de Lorentz-Einstein para la trifuerza y por lo tanto no puede usarse en dinámica relativista.