Indice | Previo: RelatividadGeneral.Geodesicas | Siguiente: RelatividadGeneral.Curvatura
2.5. La geodésica y un principio variacional¶
Una deducción alternativa de la ecuación geodésica se puede obtener mediante un principio variacional.
Sabemos que la longitud de un intervalo en el espacio-tiempo es:
$$ \mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu $$La longitud entonces de una curva hecha solo de intervalos temporaloides o luminoides, entre dos eventos $A$ y $B$ será:
$$ S=\int_A^B \mathrm{d}s=\int_A^B \sqrt{g_{\mu\nu}(x^\alpha)\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu} $$donde $x^\alpha$ son los puntos a lo largo de la trayectoria.
Si suponemos que parametrizamos los eventos en la trayectoria con un parámetro $\lambda$, de modo que $x^\alpha(\lambda)$ esta espresión se puede escribir como:
$$ S=\int_A^B\sqrt{g_{\mu\nu}(x^\alpha)\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^\nu}{\mathrm{d}\lambda}}\mathrm{d}\lambda $$La geodésica entre los eventos $A$ y $B$ será aquella curva tal que la longitud total entre ellos es extremal:
$$ \delta S=0 $$El intervalo entre puntos de la geodésica lo llamaremos en lo sucesivo:
$$ \mathrm{d}\sigma^2\equiv g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu $$El problema de la determinación de la geodésica es similar al problema de la mecánica clásica de la determinación de la trayectoria real de un sistema en el espacio de configuración que tiene acción $S$ y lagrangiano $L$.
Aquí vemos que el papel de la acción $S$ de la mecánica clásica lo juega la longitud de arco y el papel del Lagrangiano lo juega la cantidad:
$$ L\equiv\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^\nu}{\mathrm{d}\lambda}} $$Sobre la curva extremal, en general
$$\mathrm{d}\sigma^2=D \mathrm{d}\lambda^2$$donde $D$ es una constante.
Sabemos por el cálculo variacional que la condición variacional es equivalente a las ecuaciones de Euler:
$$ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x^\alpha}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^\alpha}\right|_{\;\lambda=\sigma}=0 $$donde por brevedad hemos escrito $\dot x^\alpha\equiv\mathrm{d}x^\alpha/\mathrm{d}\lambda$
Puede probarse que la ecuación de Euler en este caso resulta igual a:
$$ \frac{\mathrm{d^2} x^\mu}{\mathrm{d}\sigma^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\gamma} \frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d}\sigma}\frac{\mathrm{d} x^\gamma}{\mathrm{d}\sigma}=0 $$que es justamente la ecuación de la geodésica.
Nótese que en realidad la ecuación de la geodésica puede escribirse en general como:
$$ \frac{\mathrm{d^2} x^\mu}{\mathrm{d}\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\gamma} \frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d} x^\gamma}{\mathrm{d}\lambda}=0 $$que es independiente de si la geodésica es temporaloide o nula.
Para el caso de partículas con masa:
$$\mathrm{d}\sigma^2=c^2 \mathrm{d}\tau^2$$por lo tanto es posible usar como parámetro afin $\lambda=\tau$ de modo que para este caso:
$$ \frac{\mathrm{d^2} x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\gamma} \frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d} x^\gamma}{\mathrm{d}\tau}=0 $$Nota: La geodésica y el principio de máximo envejecimiento. En el espacio Euclidiano o en otras variedades Riemanianas la geodésica representa la trayectoria de longitud mínima, el camino de menor distancia. En un espacio Lorentziano, sin embargo, y como vimos en el capítulo de Relatividad Espacial, el camino entre dos puntos a lo largo de la geodésica es realmente el camino más largo. A esto se lo conoce como el principio de máximo envejecimiento.
2.6. Geodésicas y movimiento inercial¶
La introducción en la sección anterior del concepto de geodésica conduce a la formulación de un principio físico nuevo en la relatividad general, a saber un principio de inercia generalizado:
Postulado: Postulado de las geodésicas. Una partícula de prueba completamente libre de fuerzas, en un espacio tiempo general caracterizado por una métrica $g_{\mu\nu}$ y símbolos de Christoffel (coeficientes conexión) asociado $\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}$, se mueve sobre una geodésica en el espacio-tiempo:
$$ \frac{\mathrm{d^2} x^\mu}{\mathrm{d}\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\gamma} \frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d} x^\gamma}{\mathrm{d}\lambda}=0 $$Es interesante anotar que el resultado anterior vale tanto si la partícula es masiva como si no lo es, es decir, aplica en el caso de la luz o de otras partículas de prueba. La diferencia es que en el caso de una partícula masiva en la cual los intervalos son temporaloides, el parámetro afín puede identificarse con el tiempo propio y la ecuación geodésica adopta la forma general:
$$ \frac{\mathrm{d^2} x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\gamma} \frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d} x^\gamma}{\mathrm{d}\tau}=0 $$que ahora es una ecuación completamente física (todas las cantidades involucradas son físicas).
Si despejamos $\mathrm{d^2} x^\mu/\mathrm{d}\tau^2$ obtenemos:
$$ \frac{\mathrm{d^2} x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2} = - \Gamma^\mu_{\alpha\gamma} \frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d} x^\gamma}{\mathrm{d}\tau} $$Clásicamente se puede interpretar como que un cuerpo en un espacio-tiempo con métrica general, experimenta una aceleración incluso en la ausencia de fuerzas.
Nota: El principio que realmente es una proposición. El principio de las geodésicas fue propuesto por Einstein como un elemento adicional físico a la relatividad general independiente de las ecuaciones de campo. Sin embargo, en años posteriores, Einstein y otros colegas demostraron que en realidad este resultado es producto de una propiedad intrínseca de la relatividad, a saber, el teorema de continuidad (conservación de la energía) que puede expresarse matemáticamente como:
$${T^{\mu\nu}}_{;\mu}=0$$donde $T^{\mu\nu}$ es el tensor de esfuerzo-energía que introduciremos en una sección posterior.
2.7. Geodésicas en campo débil¶
Una de las más interesantes aplicaciones de la ecuación de la geodésica se obtiene al aplicarla a una situación en la que el campo gravitacional es poco intenso.
Hay dos cosas que desde el punto de vista de la relatividad caracterizan a un campo gravitacional débil:
En movimiento geodésico en el campo, las velocidades espaciales conseguidas por las partículas son pequeñas, i.e.
$$\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}\tau}\ll\frac{\mathrm{d}x^0}{\mathrm{d}\tau}$$ recordemos que en unidades luz la primera cantidad nos da la velocidad en unidades de la velocidad de la luz. Por otro lado, en las mismas unidades la segunda cantidad nos da la diferencia entre el tiempo coordenado y el tiempo propio que en campo débil será casi idéntica.
En campo débil la métrica es aproximadamente igual a la métrica de Minkowski. Podemos escribirla de la forma:
$$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$$ donde $|h_{\mu\nu}|\ll 1$.
A esta forma de escribir la métrica se la llama linearización de la métrica y la usaremos más adelante para describir las ondas gravitacionales.
Nos interesa dedicir la ecuación de movimiento de un cuerpo en caída libre en el campo gravitacional, es decir la ecuación $\mathrm{d}^2\vec{r}/\mathrm{d}t^2\approx\mathrm{d}^2 x^i/\mathrm{d}\tau^2$. En lo sucesivo y para simplificar usaremos la notación de Newton:
$$ \ddot{x}^\mu\equiv\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2} $$entendiendo que el punto hace referencia a la derivada respecto del tiempo propio y no del tiempo coordenado.
En esta notación la ecuación geodésica nos queda:
$$ \ddot{x}^\mu = - \Gamma^\mu_{\alpha\gamma} \dot{x}^\alpha\dot{x}^\gamma $$Teniendo en cuenta la primera condición podemos escribir una versión aproximada de la ecuación para la componente espacial como:
$$ \ddot{x}^\mu = - \Gamma^\mu_{00} (\dot{x}^0)^2 $$Si usamos coordenadas ortogonales para la métrica, sabemos que:
$$ \Gamma^\mu_{00}=-\frac{1}{2}g^{\mu\mu}g_{00,\mu} $$Suponemos un campo estático, de modo que $\Gamma^0_{00}=0$ de donde se sigue que sobre la geodésica, en las condiciones propuestas $$\ddot{x}^0=0$$ de donde integrando obtenemos:
$$ \frac{\mathrm{d} x^0}{\mathrm{d}\tau}=k $$donde $k$ es una constante de integración a lo largo de la geodésica. Es fácil ver que dado que:
$$ \mathrm{d}\sigma^2\equiv g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu $$entonces, bajo las aproximaciones podemos escribir, en unidades del sistema internacional:
$$ c^2\approx\left(\frac{\mathrm{d} x^0}{\mathrm{d} \tau}\right)^2 $$que es exactamente el mismo resultado:
$$ \dot{x}^0=c $$Volviendo a la ecuación de la geodésica, la componente temporal queda:
$$ \ddot{x}^i = - c^2\Gamma^i_{00} $$Usando la linearización de la métrica tenemos:
$$ \Gamma^i_{00}=-\frac{1}{2}\eta^{ii}h_{00,i}=\frac{1}{2}h_{00,i} $$De donde finalmente la ecuación de movimiento en campo gravitacional débil se puede escribir como:
$$ \ddot{x}^i = - \frac{c^2}{2}h_{00,i} $$En la mecánica Newtoniana sabemos que:
$$ \ddot{\vec{r}}=-\vec{\nabla}\Phi $$donde $\phi$ es el potencial gravitacional local (energía potencial gravitacional por unidad de masa) que para la ley de gravitación universal de Newton esta dado por:
$$ \Phi=-\frac{GM}{r} $$La comparación de estas ecuaciones muestra que podemos hacer la identificación:
$$ h_{00}=\frac{2\Phi}{c^2} $$De allí que el coeficiente métrico temporal en campo débil sea:
$$ g_{00}\approx 1+\frac{2\Phi}{c^2} $$De modo que el comportamiento de las partículas en un campo gravitacional Newtoniano se puede reproducir con una métrica del tipo:
$$ \mathrm{d}s^2=\left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right)\;\mathrm{d}t_L^2-\;\mathrm{d}r^2-r^2\mathrm{d}\theta^2-r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2 $$llamaremos a esta la métrica de Newton.
Una manera de parametrizar la métrica de Newton es haciendo:
$$ {\cal R}\equiv\frac{2GM_p}{c^2} $$la métrica se puede escribir de forma simplificada como:
$$ \mathrm{d}s^2=\left(1-\frac{\cal R}{r}\right)\;\mathrm{d}t_L^2-\mathrm{d}r^2-r^2\mathrm{d}\theta^2-r^2\sin^2\theta\;\mathrm{d}\phi^2 $$Nota: El parámetro $\cal R$. El parámetro $\cal R$ es una cantidad de gran relevancia en la relatvidad general. Más adelante la obtendremos después de estudiar la métrica de Schwarzschild. Por ahora podemos ver que es una cantidad que es proporcional a la masa de un cuerpo con una constante de proporcionalidad $2G/c^2=1.4852\times 10^{-27} m^3 kg^{-1}$ muy pequeña. Esta cantidad solo se hace macroscópica para valores de la masa del cuerpo realmente grandes (masas planetarias). Una manera de parametrizar este parámetro es:
$${\cal R}=2.954\;\mathrm{km}\;\left(\frac{M_p}{M_\odot}\right)$$
2.7.1. Un ejemplo numérico¶
Una implementación de la métrica de Newton es:
#Metrica Newtoniana: g_munu=diag(A,-1,-r^2,-r^2 sin^2 teta)
def Gfun_newton(R):
from export import Gamma_sym
from sympy import symbols,diag,sin
s=symbols('t r q f')
t,r,q,f=s
gcomp=diag((1-R/r),-1,-r**2,-r**2*sin(q)**2)
Gfun=Gamma_sym(gcomp,s)
return Gfun
Vamos a estudiar el movimiento de un cuerpo que es lanzado horizontalmente con una velocidad $v$ a una altura $h$ ($r=R_p+h$) sobre la superficie del planeta. Las condiciones iniciales del problema son por tanto:
\begin{eqnarray} x_{0L}^\mu & : & \left(0,\frac{R_p+h}{c},\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\\ \frac{\mathrm{d}x_{0L}^\mu}{\mathrm{d}\sigma} & : & \left(1,v_y,0,-\frac{v_x}{R_p}\right) \end{eqnarray}Las propiedades del cuerpo son:
#Constantes
c=3e8 # m/s
G=6.67e-11 # m^3 kg^-1 s^-2
#Propiedades del planeta
Mp=5.98e24 # kg
Rp=6.371e6 # m
Phip=-G*Mp/Rp
gp=G*Mp/Rp**2
R=2*G*Mp/c**2
Las condiciones iniciales serán por otro lado:
#Altura y velocidad
h=100.0 # m
vx=10.0 # m/s
vy=30.0 # m/s
from numpy import sqrt,arctan2,sin
alfa=arctan2(vy,vx)
v=(vx**2+vy**2)**0.5
T=2*v*sin(alfa)/gp
#Condiciones iniciales
from numpy import array,pi
Y0s=array([0.0,(Rp+h)/c,pi/2,pi/2,
1,vy/c,0,-vx/Rp])
#Tiempo de integración
from numpy import pi,linspace
ss=linspace(0,T,30)
print(f"Condiciones iniciales = {Y0s}")
%matplotlib inline
#Integra la ecuación de la geodésica
from scipy.integrate import odeint
from export import ecuacion_geodesica
Gfun=Gfun_newton(R/c)
N=4
Ys=odeint(ecuacion_geodesica,Y0s,ss,args=(Gfun,N))
#Convierte solución en coordenadas esféricas
ts=Ys[:,0]
rs=Ys[:,1]
qs=Ys[:,2]
fs=Ys[:,3]
#Convierte coordenadas esféricas en coordenadas cartesianas
from numpy import sin,cos
xs=rs*sin(qs)*cos(fs)
ys=rs*sin(qs)*sin(fs)
zs=rs*cos(qs)
#Gráfico
import matplotlib.pyplot as plt
fig=plt.figure(figsize=(5,5))
ax=fig.gca()
ax.plot(c*xs,c*ys-Rp,label="Geodésica")
#Comparación con el movimiento parabólico
xs_par=vx*ss
ys_par=vy*ss+h-0.5*gp*ss**2
ax.plot(xs_par,ys_par,'k+',label="Galileo")
#Decoración
ax.legend()
ax.set_xlabel("$x$")
ax.set_ylabel("$y$")
ax.set_aspect("equal")
fig.tight_layout()
Que se corresponde con lo esperado: el cuerpo describe una trayectoria parabólica en el espacio.
2.8. Simetrías y cantidades conservadas¶
Las ecuaciones geodésicas son funamentales en Relatividad general y como tal deben ser revisadas con sumo cuidado. Como sucede en la mecánica clásica con las ecuaciones de movimiento de Newton o las ecuaciones de Lagrange, ellas representan las ecuaciones diferenciales más importantes de la relatividad general.
Existen distintas maneras de escribir las ecuaciones de la geodésica:
Versión original: $$ \frac{\mathrm{d^2} x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2} = - \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d} x^\beta}{\mathrm{d}\tau} $$ que en notación de Newton es: $$ \ddot{x}^\mu = - \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta $$
Versión linearizada
\begin{eqnarray} \nonumber \dot{x}^\mu & = & U^\mu\\ \nonumber \dot{U}^\mu & = & - \Gamma^\mu_{\alpha\beta} U^\alpha U^\beta \end{eqnarray}
Versión variacional: si se define: $$ L=\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu} $$ entonces la ecuación de la geodésica es: $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x^\alpha}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^\alpha}=0 $$
Esta última manera de expresar la ecuación permite encontrar constantes de movimiento usando principios similares a los que se usaron en la mecánica clásica.
2.8.1. La métrica como constante¶
Como hemos visto antes si se escoge de manera apropiada el parámetro afin entonces el valor de $L$ resulta constante e igual a D. De aquí resulta nuestra primera constante de movimiento o cuadratura:
$$ \sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}=D $$que se puede escribir como:
$$ g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu=D^2 $$En el caso por ejemplo de una geodésica temporaloide, $D=c$ y $\sigma=\tau$ de modo que:
$$ g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu=c^2 $$2.8.2. Coordenadas cíclicas y vectores de Killing¶
Si una métrica no depende de una de las coordenadas $x^\kappa$, entonces la ecuación de Euler (ecuación de la geodésica) se puede escribir como:
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x^\kappa}\right)=0 $$De aquí se obtiene que la cuadratura:
$$ \frac{\partial L}{\partial \dot x^\kappa}=\mathrm{cte} $$Desarrollando esta ecuación obtenemos:
$$ -g_{\kappa\nu}\frac{1}{L}\frac{\mathrm{d}x^\nu}{\mathrm{d}\sigma}=-g_{\kappa\nu}U^\nu=\mathrm{cte} $$Si definimos el vector:
$$ \xi^\mu:(0_0,...,1_\kappa,...,0_4) $$donde la única componente distinta de 0 es la componente $\kappa$ entonces la constante encontrada se puede escribir como:
$$ g_{\mu\nu}\xi^\mu U^\nu=\mathrm{cte} $$Que no es otra cosa que el producto punto del cuadrivector $\xi^\mu$ y la cuadrivelocidad $U_\nu$:
$$ \xi^\mu U_\mu=\mathrm{cte} $$Al cuadrivector $\xi^\mu$ se lo llama el vector de Killing asociado con la simetría correspondiente$^1$.
2.8.3. Ejemplo: geodésicas en coordenadas cilíndricas¶
Un ejemplo clásico consiste en calcular las geodésicas en un espacio plano cuya métrica es expresada en coordenadas cilíndricas:
$$ \mathrm{d}l^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\phi^2+\mathrm{d}z^2 $$Consideremos geodésicas sobre el plano $z=0$. Podemos escribir la ecuación de la geodésica o escribir sus constantes:
Constancia de la métrica: En este caso podemos escoger un parámetro afin tal que $D=1$:
$$ \sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}=1 $$
que se escribe explícitamente como:
$$ \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2+r^2\left(\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2=1 $$
Variables cíclicas: En este caso $\phi$ no aparece en la métrica y por lo tanto el vector de Killing es $\xi^\mu:(0,1,0)$, de allí que la siguiente cantidad sea constante:
$$ \xi^\mu \dot{x}_\mu=h $$ aquí hemos escogido llamar $h$ a la constante. Explícitamente:
$$ g_{\mu\nu}\xi^\mu\dot{x}^\nu=h $$ o lo que es lo mismo:
$$ g_{\phi\phi}\dot{\phi}=r^2\dot{\phi}=h $$
Dividiendo esta última ecuación por la primera obtenemos:
$$ \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}=\frac{l}{r^2}\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)^{-1/2} $$Que puede integrarse para dar:
$$ \phi=\phi_0+\cos^{-1}\left(\frac{h}{r}\right) $$Despejando $r$ obtenemos la forma de las geodésicas:
$$ r \cos(\phi-\phi_0)=h $$Desarrollando el coseno y teniendo en cuenta que $r\cos\phi=x$ y $r\sin\phi=y$:
$$ x\cos\phi_0+y\sin\phi_0=h $$que es la ecuación general de una línea recta y que es lo que estabamos esperando.
2.8.4. Ejemplo: geodésicas sobre una esfera¶
Un ejemplo clásico consiste en calcular las geodésicas sobre una esfera:
$$ \mathrm{d}l^2=R^2\mathrm{d}\theta^2+R^2\sin^2\theta\;\mathrm{d}\phi^2 $$Ya habíamos hecho este cálculo numéricamente. Hagámoslo ahora analíticamente.
Constancia de la métrica: En este caso podemos escoger un parámetro afin tal que $D=1$:
$$ \sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}=1 $$
que se escribe explícitamente como:
$$ R^{2}\left(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} \lambda}\right)^{2}+R^{2} \sin^{2} \theta\left(\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} \lambda}\right)^{2}=1 $$
Variables cíclicas: En este caso $\phi$ no aparece en la métrica y por lo tanto el vector de Killing es $\xi^\mu:(0,1,0)$, de allí que la siguiente cantidad sea constante:
$$ g_{\phi\phi}\dot{\phi}=R^2\sin^2\theta\dot{\phi}=h $$
Dividiendo término a término la primera por el cuadrado de la segunda y reorganizando se produce:
$$ \frac{1}{\sin^2\theta}\left(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} \phi}\right)^{2}+1=h^2 R^2\sin^2\theta $$Llamando $\kappa=h^2R^2$, la integral y separando variables obtenemos:
$$ \pm \int d \phi=\int \frac{d \theta}{\operatorname{sen} \theta \sqrt{\kappa \operatorname{sen}^{2} \theta-1}} $$Por tablas de integrales:
$$ \tan\left(\phi+\phi_{0}\right)=\mp \frac{\cos \theta}{\sqrt{\kappa \operatorname{sen}^{2} \theta-1}} $$Que puede escribirse como:
$$ \operatorname{sin}\left(\phi+\phi_{0}\right)=\frac{\cos \theta}{\sqrt{\kappa-1} \operatorname{sin} \theta} $$Y que se puede desarrollar como:
$$ \operatorname{sin} \phi_{0}(R \operatorname{sin} \theta \cos \phi)+\cos \phi_{0}(R \operatorname{sin} \theta \operatorname{sin} \varphi)=\frac{1}{\sqrt{\kappa-1}}(R \cos \theta) $$Que se puede escribir en coordenadas cartesianas como:
$$ x\sin\phi_0+y\cos\phi_0-z\frac{1}{\sqrt{\kappa-1}}=0 $$que es la ecuación de un plano que pasa por el origen de coordenadas y cuyas coordenadas $x,y,z$ están sobre la superficie de la esfera. Es decir, esta es la ecuación de una circunferencia máxima, que es lo que sabemos para una geodésica sobre una esfera.
2.8.5. Ejemplo: geodésicas en la métrica de Newton¶
Estudiemos ahora el caso físico de la métrica de Newton:
$$ \mathrm{d}s^2=A\;\mathrm{d}t_L^2-\;\mathrm{d}\vec{l}^2 $$donde
$$ A\equiv\left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right) $$Constancia de la métrica: En este caso el parametro afin es $D=c$:
$$ \sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}=c $$
que se escribe explícitamente como:
$$ A\left(c\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau}\right)^{2}-\left(\frac{\mathrm{d}\vec{l}}{\mathrm{d} \tau}\right)^{2}=c^2 $$
Variables cíclicas: En este caso $t$ no aparece en la métrica y por lo tanto el vector de Killing es $\xi^\mu:(1,0,0,0)$, de allí que la siguiente cantidad sea constante:
$$ A\frac{\mathrm{d} (ct)}{\mathrm{d} \tau}=\kappa $$
Elevando al cuadrado la última ecuación y dividiendo la primera por el resultado obtenemos:
$$ \frac{1}{A}-\frac{1}{c^2 A^2}\left(\frac{\mathrm{d}\vec{l}}{\mathrm{d}t}\right)^{2}=\frac{c^2}{ \kappa^2} $$Si identificamos $v=\mathrm{d}\vec{l}/\mathrm{d}t$ y expandimos:
$$ \frac{1}{A}\approx 1-\frac{2\Phi}{c^2} $$y $$ \frac{1}{A^2}\approx 1-\frac{4\Phi}{c^2} $$
La siguiente relación resulta:
$$ 1-\frac{2\Phi}{c^2}-\frac{v^2}{c^2}\left(1-\frac{4\Phi}{c^2}\right)=\frac{c^2}{ \kappa^2} $$Si multiplicamos a ambos lados por $c^2$ y dividimos por 2 y despreciamos el término $\Phi/c^2$:
$$ \frac{v^2}{2}+\Phi=\frac{c^2}{2}\left(1-\frac{c^2}{k^2}\right) $$Multiplicando a ambos lados por la masa de la partícula obtenemos:
$$ \frac{1}{2}mv^2+U=E $$donde
$$ E\equiv\frac{mc^2}{2}\left(1-\frac{c^2}{k^2}\right) $$Ya sabíamos en la física Newtoniana de esta cuadratura.
Indice | Previo: RelatividadGeneral.Geodesicas | Siguiente: RelatividadGeneral.Curvatura