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Cómo construir una cantidad tensorial $E_{\mu\nu}$ que involucre todas las posibles fuentes de energía que existen en una región del espacio-tiempo dado, tal que:
$$ E_{00}=\rho c^2 $$Cualquiera sea la cantidad que construyamos debemos satisfacer el principio de conservación de la energía: dada una región del espacio-tiempo donde hay masa-energía en movimiento, la cantidad de masa-energía debe conservarse.
Ya habíamos visto en la electrodinámica que la conservación de la carga se expresa en la forma de la ecuación de continuidad:
$$ J^\mu_{,\mu}=0 $$donde
$$ J^{\mu}=\rho_0 \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}=\rho \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}t} $$donde $\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}t$ es la velocidad de un elemento de volumen de fluído alrededor del evento en el que la densidad carga es $\rho(\tilde x)=\gamma \rho_0(\tilde x)$.
Si tenemos un sistema formado por partículas puntuales (masa constante), la conservación de la masa se expresa de forma similar. ¿Cómo generalizar este principio de continuidad a sistemas mecánicos mucho más generales?
Una primera idea sería la de definir una corriente más general:
$$ J^\mu_q\equiv q \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}t} $$donde $q$ es la densidad una cantidad física que asumimos conservada.
La ecuación de continuidad de la electrodinámica será entonces aquella que corresponde a la conservación de la carga:
$$ {J^\mu_{\rho_q}}_{,\mu}=0 $$donde $Q=\rho_q$ es la densidad de carga eléctrica, mientras que la conservación de la masa será:
$$ {J^\mu_{\rho_m}}_{,\mu}=0 $$donde $Q=\rho_m c^2$ es la densidad de masa.
Pero en mecánica conocemos otras cantidades conservadas, por ejemplo, en ausencia de fuerzas y torques, en una nube de partículas el momentum lineal y angular se conservan. De modo que podemos definir las corrientes de estas cantidades.
Por ejemplo, la densidad de momentum se puede definir como:
$$ {J^\mu}_{\pi_i}=\pi_{i} \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}t} $$donde es importante anotar que $\pi_i$ no es el momentum convencional, sino su densidad (momentum total por unidad de volumen). Esta cantidad sin embargo no es una cantidad muy apropiadad para la relatividad puesto que involucra cantidades vectoriales y tensoriales. Definamos de forma más general la densidad de flujo de cuadrimomentum:
donde $\pi^\mu(\tilde x)$ es la densidad de cuadrimomentum en el evento $\tilde x$ (cuadrimomentum total de un elemento de volumen por unidad de volumen).
Esta cantidad recibe, de forma más conveniente, el nombre de tensor de momentum-energía y es la cantidad tensorial que estabamos buscando para nuestra ecuación de campo general, como demostraremos enseguida.
Para entender mejor lo que es el tensor momentum energía, podemos calcularlo en algunos casos conocidos. El mejor es el de una nube de partículas no interactuantes.
Cada partícula en la nube tiene masa idéntica $m$. La densidad de número de partículas es $n$. La velocidad de las partículas en un entorno infinitesimal alrededor de un evento $x^\alpha$ se considera idéntica e igual a $U^\mu(x^\alpha$) y cada partícula tendrá por tanto un cuadrimomentum $P^\mu(x^\alpha)=m U^\mu(x^\alpha)$.
En estas condiciones la densidad de momentum en la dirección espacial $\mu$ se puede escribir como:
$$ \pi^\mu(\tilde x)=n m U^\mu(\tilde x)=\rho U^\mu(\tilde x) $$De allí que el tensor de momentum energía será:
$$ T^{\mu\nu}_\mathrm{nube}(x^\alpha)=\frac{\rho}{\gamma_v} U^\mu(\tilde x) U^\nu(\tilde x)=\rho_0 U^\mu(\tilde x) U^\nu(\tilde x) $$donde hemos usado el hecho:
$$\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma_v}U^\mu$$y hemos reconocido que
$$\rho=n m = (\gamma_v n_0) m$$donde $n_0$ es la densidad de número propia en el punto $\tilde x$ en la que las partículas tienen velocidad $\vec v(\tilde x)$.
En síntesis podemos decir que el tensor momentum-energía para una nube de partículas no interactuantes será:
$$ T^{\mu\nu}_\mathrm{nube}=\rho_0 U^\mu U^\nu $$Otra manera de escribirlo y como se encuentra comunmente en la literatura es:
$$ T^{\mu\nu}_\mathrm{nube}=n\left(\frac{P^\mu P^\nu}{E/c^2}\right) $$donde $E=\gamma m c^2$.
Una componente de interés es la componente temporal que será:
$$ T^{00}_\mathrm{nube}= \rho_0 U^0 U^0 = n_0 m \gamma^2 c^2 = (\gamma n_0)(\gamma m c^2)\equiv\varepsilon $$donde $\varepsilon\equiv n(\gamma m c^2)$ es la densidad de energía.
También podemos escribir como:
$$ T^{00}_\mathrm{nube}=\gamma \rho c^2 $$donde $\rho=n m$.
Podemos finalmente escribir explícitamente las componentes del tensor momentum energía:
$$ T^{\mu\nu}_\mathrm{nube}=\gamma \rho c^2 \left( \begin{array}{cccc} 1 & v_x/c & v_y/c & v_z/c \\ v_x/c & v_x^2/c^2 & v_x v_y/c^2 & v_x v_z/c^2 \\ v_y/c & v_x v_y/c^2 & v_y^2/c^2 & v_y v_z/c^2 \\ v_z/c & v_x v_z/c^2 & v_y v_z/c^2 & v_z^2/c^2 \end{array} \right) $$Si la nube de partículas se mueve con velocidad muy pequeña comparada con la velocidad de la luz el tensor será:
$$ T^{\mu\nu}_\mathrm{polvo}= \left( \begin{array}{cccc} \rho_0 c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$Llamamos a esta situación polvo porque las partículas se mueven lentamente posiblemente debido a que son macroscópicas (galaxias, granos sólidos de polvo, estrellas, etc.)
El tensor de momentum-energía tiene relación con un tensor clásico, el tensor de esfuerzos de Cauchy, que también miden el flujo de momentum.
Sabemos que la componente $i$ fuerza que actúa sobre un elemento de volumen es $F^i=\mathrm{d}p^i/\mathrm{d}t$, por tanto la fuerza por unidad de área o tracción $\sigma^i$ medida en la dirección de la superficie en dirección $\hat{e}_j$ será:
$$ \sigma^i_j\equiv\frac{\mathrm{d}F^i}{\mathrm{d}A^j}=\frac{\mathrm{d}^2 p^i}{\mathrm{d}t\mathrm{d}A^j} $$que es justo lo que llamamos el flujo de momentum espacial $p^i$ a través del área $A^j$.
El tensor de esfuerzos en un medio elástico se puede escribir como:
$$ \sigma^i_{j}= \left( \begin{array}{ccc} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{array} \right) $$donde $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ se conocen como los resfuerzos normales y $\tau_{ij}$ se conocen como los esfuerzos cortantes.
Con esta definición podemos escribir el tensor de momentum energía mecánico como:
$$ T^{\mu\nu}_\mathrm{mec}= \left( \begin{array}{cccc} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{01} & \sigma^{11} & \sigma^{12} & \sigma^{13} \\ T^{02} & \sigma^{12} & \sigma^{22} & \sigma^{23} \\ T^{03} & \sigma^{13} & \sigma^{12} & \sigma^{33} \\ \end{array} \right) $$Para un fluído perfecto (no viscosidad, es decir no hay esfuerzos cortantes) en equilibrio hidrodinámico, el tensor de esfuerzos adopta la forma:
$$ \sigma^i_{j}= \left( \begin{array}{ccc} -p & 0 & 0 \\ 0 & -p & 0 \\ 0 & 0 & -p \end{array} \right) $$donde $p$ es la presión en el fluído.
El tensor de esfuerzos contravariante será:
$$ \sigma^{ij}=g^{ik}\sigma^i_k= \left( \begin{array}{ccc} -g^{11} p & 0 & 0 \\ 0 & -g^{22} p & 0 \\ 0 & 0 & -g^{33} p \end{array} \right) $$Si nos paramos en el sistema de referencia del fluído entonces $T^{00}=\rho_0 c^2$ y $T^{0i}=0$ el tensor momentum-energía será:
$$ T^{\mu\nu}_\mathrm{perfecto}= \left( \begin{array}{cccc} \rho_0 c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -g^{11}p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -g^{22}p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -g^{33}p \\ \end{array} \right) $$Si ahora observamos el fluído desde un sistema de referencia que se mueve con velocidad $\vec u$ debemos transformar el tensor de acuerdo con las reglas de transformación generales correspondientes a la métrica $g_{\mu\nu}$:
$$ T^{\mu'\nu'}_\mathrm{perfecto}={\cal G}^\mu_{\mu'} {\cal G}^\nu_{\nu'} T^{\mu\nu}_\mathrm{perfecto} $$Un tedioso cálculo algebraico produce como resultado:
$$ T^{\mu\nu}_\mathrm{perfecto}=\left(\rho_0+\frac{p}{c^2}\right)U^\mu U^\nu-pg^{\mu\nu} $$Recordemos que una de las razones por las que dedujimos el tensor de momentum-energía era pensando justamente en que este tuviera la propiedad de conservación de otras corrientes, a saber:
$$ {T^{\mu\nu}}_{;\mu}=0 $$donde hemos escrito en lugar de la derivada "," de la ley de conservación de la cuadricorriente, la derivada covariante ";" de la relatividad general.
Es posible partiendo del tensor momentum-energía de una nube de partículas probar que la condición anterior solo se cumple si las partículas de la nube se mueven siguiendo geodésicas (ver Lorenzo, página 295-297):
$$ \frac{\mathrm{d^2} x^\mu}{\mathrm{d}\sigma^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\gamma} \frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d}\sigma}\frac{\mathrm{d} x^\gamma}{\mathrm{d}\sigma}=0 $$Es posible mostrar que la ecuación de conservación se puede escribir también como:
$$ {T_{\mu\nu}}^{;\mu}=0 $$Indice | Previo: RelatividadGeneral.PrincipioConsistencia | Siguiente: RelatividadGeneral.EcuacionCampoMetrico