Para estudiar la emisión de ondas gravitacionales debemos partir de la ecuación de campo en gravedad linearizada pero con fuentes:
$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu}=-\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} $$Lo que esta ecuación indica es que cada componente de la perturbación metrica satisface una ecuación de ondas del tipo:
$$ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f(x)}{\partial t^2}-\nabla^2 f(x)=j(x) $$donde $x=x^\mu$ es un evento arbitrario en el espacio-tiempo.
Supongamos que tenemos una fuente puntual en $x_0$ y queremos resolver la ecuación arriba. En este caso podemos usar el delta de Dirac para representar la densidad de energía:
$$ j(x)=j_0 \delta^4(x-x_0) $$donde $\delta^4(x-x_0)=\delta(t-t_0)\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_0)$.
Tratemos primero de resolver la ecuación:
$$ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f(x)}{\partial t^2}-\nabla^2 f(x)=\delta^4(x) $$Dada la simetría esférica de una fuente puntual, la solución a la ecuación solo dependerá del tiempo y de la distancia a $x_0$ así $g(x)=g(t,r)$.
Lejos de la fuente la solución a la ecuación de onda será:
$$ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 g(t,r)}{\partial t^2}-\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left[r^2 \frac{\partial g(t,r)}{\partial r}\right]=0 $$Los textos de física matemática proveen una solución para esta ecuación:
$$ g(t,r)=\frac{1}{r}\left[O(ct-r)+I(ct+r)\right] $$vemos que la onda se divide en una onda entrante $I(ct+r)/r$ y en una saliente $O(ct-r)/r$. Naturalmente para nosotros la onda entrante no será incluída en tanto asumimos que la onda.
Cerca a la fuente podemos intentar, no resolver la ecuación, sino escribir una versión integrada de la ecuación en una esfera pequeña de radio $\varepsilon$ alrededor de ella:
$$ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_\varepsilon\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 g(x)}{\partial t^2}-\nabla^2 g(x)\right)\mathrm{d}V=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_\varepsilon j(x)\mathrm{d}V $$Dado que $g(x)\sim 1/r$ y $\mathrm{d}V\rightarrow r^2$ el primer término de la integral tiende a cero cuando $\varepsilon\rightarrow 0$. Esto nos deja solo:
$$ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_\varepsilon \nabla^2 g(x)\mathrm{d}V=\delta(t) $$Usando el teorema de la divergencia en la integral del lado derecho:
$$ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_\varepsilon \vec{\nabla}g(x)\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\delta(t) $$Como ahora la integral se realiza sobre la superficie $f(x)=f(t,r)$ que habíamos encontrado antes:
$$ O(t) = -\frac{\delta(t)}{4\pi} $$o bien:
$$ O(ct-r) = -\frac{\delta(ct-r)}{4\pi} $$La solución general a la ecuación de ondas con una fuente puntual es entonces:
$$ g(t,r)=-\frac{\delta(ct-r)}{4\pi r} $$donde el delta de Dirac indica que la onda esta restringida al frente que se mueve con velocidad $c$.
Para una fuente general ubicada en $x':(t',\vec{r}')$ la solución será:
$$ f(t,\vec r)=j(t',x')g(t-t',\vec{r}-\vec{r}')=-\frac{j(t_r,\vec r')}{4\pi|\vec r-\vec{r}'|} $$donde $t_r=t-|\vec{r}-\vec{r}'|/c$
La onda producida por una fuente extendida se puede calcular de la superposición de muchas fuentes puntuales, cada una emitiendo desde un lugar y tiempo en general diferente. En este caso la solución será:
$$ f(t,\vec r)=-\frac{1}{4\pi}\int \frac{j(t_r,\vec r')}{|\vec r-\vec{r}'|}\mathrm{d}V' $$Una aproximación interesante se puede obtener considerando dos aproximaciones: 1) una fuente de ondas armónica (un sistema binario en rotación por ejemplo) y 2) una longitud de onda mucho mayor que la fuente, $\lambda\gg R_\mathrm{fuente}$, siendo $R_\mathrm{fuente}$ el tamaño característico de la misma. En este caso:
$$ j(t,\vec{r})=j_\omega(\vec{r})\cos(\omega t) $$¿Qué significa una longitud de onda muy grande?. Si escribimos la aproximación $\lambda\gg R_\mathrm{fuente}$ como:
$$ cP\gg R_\mathrm{fuente} $$donde $P$ es el período de la onda electromagnética, entonces la aproximación de onda larga implica:
$$ \frac{R_\mathrm{fuente}}{P}\ll c $$Podemos pensar en $R_\mathrm{fuente}/P$ como una velocidad característica de la fuente, la velocidad que le toma a la materia en la fuente moverse. Es decir la aproximación de grandes longitudes de onda sería valida en sistemas en los que los cuerpos se mueven a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz.
Reemplazando queda:
$$ f(t,\vec r)=-\frac{1}{4\pi}\int \frac{j_\omega(\vec{r}')\cos[\omega(t-|\vec{r}-\vec{r'}|/c)]}{|\vec r-\vec{r}'|}\mathrm{d}V' $$Si consideramos ahora una distancia muy grande desde la fuente, i.e. $\vec r\gg R_\mathrm{fuente}$ entonces $|\vec{r}-\vec{r}'|\approx \vec{r}$ y por lo tanto la solución será:
$$ f^\mathrm{far}(t,\vec r)=-\frac{1}{4\pi r}\int j(ct-r,\vec{r}')\mathrm{d}V' $$Llamamos a esta solución la solución de campo lejano y gran longitud de onda.
Podemos finalmente postular que la solución a la ecuación de campo métrico linearizada es:
$$ \bar{h}^{\mu\nu}_\mathrm{far}=-\frac{1}{4\pi r}\int -\frac{16\pi G}{c^4}T^{\mu\nu}(ct-r,\vec{r}')\mathrm{d}V' $$que simplificando queda finalmente:
$$ \bar{h}^{\mu\nu}_\mathrm{far}=\frac{4G}{c^4 r}\int T^{\mu\nu}(ct-r,\vec{r}')\mathrm{d}V' $$Es posible mostrar que esta solución satisface además las condiciones gauge que hemos asumido a lo largo de las últimas secciones (ver Problemas al final del capítulo).
Si estamos a una gran distancia observando la llegada de la onda gravitacional en un detector de un tamaño mucho menor que la distancia a la misma, la onda que nos llegará será esencialmente una onda plana como las que estudiamos en secciones anteriores. Como hemos visto para entender esta onda es necesario estudiar las componentes espaciales de la misma. Así que nos interesa calcular:
$$ \bar{h}^{ij}_\mathrm{far}=\frac{4G}{c^4 r}\int T^{ij}(t-r,\vec{r}')\mathrm{d}V' $$¿Cómo escribir las componentes del tensor $T^{ij}$ en términos de la masa y su distribución en la fuente?. Sabemos que la masa esta directamente relacionada con $T^{00}$, de modo que si queremos encontrar una relación de $T^{ij}$ con la masa debemos encontrarla es con $T^{00}$.
Por el principio de continuidad aplicada al flujo de momentum sabemos que:
$$ {T^{\mu\nu}}_{;\mu}=0 $$En gravedad linearizada y a primer orden la componente 0 de esta ecuación es:
$$ {T^{\mu\nu}}_{;\mu}\approx {T^{\mu\nu}}_{,\mu}={T^{00}}_{,0}+{T^{0i}}_{,i}=0 $$de donde:
$$ {T^{00}}_{,0}=-{T^{0i}}_{,i} $$La componente espacial por otro lado
$$ {T^{i0}}_{,0}=-{T^{ij}}_{,j} $$Derivando respecto al tiempo la primera identidad $$ {T^{00}}_{,0,0}=-{T^{0i}}_{,i,0}=-{T^{0i}}_{,0,i} $$ y usando en esta última la segunda identidad queda:
$$ {T^{00}}_{,0,0}={T^{ij}}_{,i,j} $$Consideremos ahora la siguiente integral:
$$ \int {(T^{0k}x^i x^j)}_{,k}\;\mathrm{d}V=\int {T^{0k}}_{,k} x^i x^j\;\mathrm{d}V+\int T^{0i} x^j\;\mathrm{d}V+\int T^{0j} x^i\;\mathrm{d}V $$Por el teorema de la divergencia, el término en el lado derecho de la ecuación es una integral sobre la superficie del tensor $T^{0k}x^i x^j$, pero si consideramos para esta integral una superficie ligeramente por encima de la distribución de materia esta cantidad da cero. De ese modo la igualdad anterios queda:
$$ \int T^{0i} x^j\;\mathrm{d}V=-\frac{1}{2c}\int {T^{00}}_{,0} x^i x^j\;\mathrm{d}V $$dado que las variables son independientes:
$$ \int T^{0i} x^j\;\mathrm{d}V=-\frac{1}{2c}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\int {T^{00}} x^i x^j\;\mathrm{d}V\right) $$Hemos usado el hecho de que una derivada total sobre una integral es lo mismo que la integral de su derivada parcial respecto al tiempo (regla e Leibniz):
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int f(\vec{r},t)\mathrm{d}V=\int \frac{\partial}{\partial t}f(\vec{r},t)\mathrm{d}V $$Derivando esta última expresión respecto al tiempo queda:
$$ \frac{1}{c}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int {T^{0i}} x^j\;\mathrm{d}V=-\frac{1}{2c^2}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\left(\int {T^{00}} x^i x^j\;\mathrm{d}V\right) $$Para encontrar a que corresponde el lado izquierdo de la ecuación escribámosla como:
$$ \int {T^{0i}}_{,0} x^j\;\mathrm{d}V=-\int {T^{ik}}_{,k} x^j\;\mathrm{d}V=\int [(T^{ik} x^j)_{,k}-T^{ij}]\;\mathrm{d}V $$Por el mismo argumento del teorema de la divergencia, el primer término del lado derecho de la anterior ecuación es 0 y por lo tanto la identidad que obtenemos finalmente es:
$$ \int T^{ij}\;\mathrm{d}V=\frac{1}{2c^2}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\left(\int {T^{00}} x^i x^j\;\mathrm{d}V\right) $$A bajas velocidades el tensor de momentum energía es $T^{00}\approx \rho_0(t,\vec{r}) c^2$.
Si definimos el segundo momento de la distribución de masa del sistema $I^{ij}$ como:
$$ I^{ij}(t)=\int \rho_0(t,\vec{r}') x'^i x'^j\;\mathrm{d}V' $$la solución a la ecuación de onda en el campo lejano y asumiendo gran longitud de onda será:
$$ \bar{h}^{ij}_\mathrm{far}(t,\vec{r})=\frac{2G}{c^4 r}\ddot{I}^{ij}(ct-r) $$Si bien este resultado fue deducido bajo aproximaciones muy particulares, en realidad su forma general es válida en otras condiciones.
Una primera característica interesante de este resultado es que la perturbación inducida por la radiación gravitacional decae como $1/r$. Así, por ejemplo, para dos detectores localizados sobre el cono de luz de una onda a distancias $r$ y $r_0$:
$$ \bar{h}^{ij}_\mathrm{far}(r)=\bar{h}^{ij}_\mathrm{far}(r_0)\left(\frac{r_0}{r}\right) $$Calcular la energía transportada por ondas gravitacionales no es fácil. Para empezar y como discutiremos más adelante no es posible asignar una energía local a un espacio-tiempo curvado. El concepto de energía gravitacional es por tanto imposible de definir rigurosamente en relatividad general (lo que era de esperarse en tanto no hay fuerzas grabitacionales).
En el caso de gravedad linearizada, es posible calcular la energía transferida a una partícula de prueba (mejor, a un sistema formado por varias partículas) cuando pasa la onda gravitacional. El argumento que se conoce históricamente como el sticky bead argument (cuenca pegajosa) fue ideado por Richard Feynmann en los años 50.
Imaginemos que sobre un alambre se ubican dos cuencas que pueden moverse libremente. Cuando pasa una onda gravitacional las cuencas se separan y acercan periódicamente sobre el alambra. Es cierto que también lo harían los átomos del alambre, pero dado que sobre ellos actúan fuerzas electromagnéticas muy poderosas, el efecto sobre las cuencas será mayor. Si hay fricción en el alambre, es claro que con el tiempo la onda gravitacional terminará transfiriendo energía al alambre en la forma de calor.
Si la distancia entre las cuencas esta dada por (asumimos que el alambre está en la dirección de la polarización de la onda):
$$ \Delta L = a_+ \cos(ku+\phi) $$la velocidad de las cuencas será:
$$ v=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Delta L=\omega a_+\sin(ku+\phi) $$Su energía cinética será por otro lado proporcional a $\omega^2 a_+^2$. Este argumento nos permite entender una parte de la expresión rigurosa que se calcula usando la ecuación de campo.
El flujo de energía (energía por unidad de área, por unidad de tiempo) transportado por la polarización de magnitud $a$ en dirección perpendicular a una onda plana será:
$$ J_\mathrm{GW}=\left(\frac{c^2}{16\pi G}\right)\times \left(\frac{1}{2}a^2 \omega^2\right) \times c $$En esta expresión reconocemos el primer término que es el inverso de la constante de la ecuación de campo en gravedad linearizada multiplicada por $c^2$. El segundo término que viene del promedio de la energía cinética transferida a las partículas. Estos dos términos producen una densidad de energía:
$$ \varepsilon_\mathrm{GW}=\frac{c^2}{32\pi G}(a\omega)^2 $$El último término $c$ viene cuando queremos calcular la densidad de flujo de energía de una onda que se propaga con la velocidad de la luz, $J=\epsilon c$. Todos los términos juntos producen finalmente:
$$ J_\mathrm{GW}=\frac{c^3}{32\pi G}(a\omega)^2 $$Si hay varias ondas y varias polarizaciones el flujo de energía total será la suma del término anterior calculada para cada una de ellas.
Una de las más importantes deducciones realizadas por Einstein en su temprana teoría de la gravitación fue la de la potencia total radiada por una fuente. El resultado se conoce como la formula del cuadrupolo y aunque no la deduciremos rigurosamente aquí bastará con decir que no es difícil hacerlo (solo muy laborioso).
La fórmula establece que si definimos el tensor de momento cuadrupolar $Q^{ij}$ como:
$$ Q^{ij}(t)\equiv I^{ij}(t)-\frac{1}{3}\delta^{ij}{I^k}_k(t) $$entonces la potencial total radiada por una fuente es:
$$ L_\mathrm{GW}=\frac{1}{5}\frac{G}{c^5}\langle \dddot{Q}^{ij}\dddot{Q}_{ij}\rangle $$donde el promedio se debe realizar sobre un período de la onda. Esta es justamente la que llamamos la formula del cuadrupolo y fue deducida por primera vez por Einstein en 1916.
Nota: Solo hay radiación gravitacional si hay momento cuadrupolar. A diferencia de lo que pasa con la radiación electromagnética que puede ser producida siempre que la distribución de carga tenga un momento dipolar variable (ver tabla al final de esta sección), la radiación gravitacional solo puede producirse si hay un momento cuadrupolar de masa y este cambia en el tiempo. Esto explicará por qué solo ciertas distribuciones de materia pueden producir ondas gravitacionales (objetos en sistemas binarios, explosiones asimétricas, etc.) y otros no (estrellas en rotación, explosiones simétricas, etc.)
Como hicimos en una sección anterior, es posible hacer una analogía entre la emisión de ondas gravitacionales y la emisión de ondas electromagnéticas. En la tabla a continuación se hace la analogía:
| Aspecto | Electromagnetismo | Gravitación linearizada | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Cuadripotencial | $A^\mu$ | $\bar{h}_{\mu\nu}$ | ||||
| Fuentes | $J^\nu$ | $T_{\mu\nu}$ | ||||
| Ecuación con fuentes | $$\partial_\alpha \partial^\alpha {A^\nu}=\frac{4\pi}{c}J^\nu$$ | $$\partial_\alpha \partial^\alpha \bar{h}_{\mu\nu}=\frac{-16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$ | ||||
| Solución general | $$\bar{h}^{ij}(t,\vec r)=\frac{4G}{c^4}\int \frac{T^{ij}(t_r,\vec r')}{ | \vec r-\vec{r}' | }\mathrm{d}V'$$ | $$A^{i}(t,\vec r)=\frac{\mu}{4\pi}\int \frac{J^{i}(t_r,\vec r')}{ | \vec r-\vec{r}' | }\mathrm{d}V' $$ |
| Campo lejano | $$\bar{h}^{ij}_\mathrm{far}(t,\vec r)=\frac{2G}{c^4}\frac{\ddot{Q}^{ij}}{r}$$ | $$A^{i}_\mathrm{far}(t,\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\dot{P}^{i}}{r}$$ | ||||
| Momentos | Segundo momento: $$I^{ij}(t)=\int \rho_0(t,\vec{r}') x'^i x'^j\;\mathrm{d}V'$$, Momento cuadrupolar: $$ |
Q^{ij}(t)\equiv I^{ij}(t)-\frac{1}{3}\delta^{ij}{I^k}_k(t) $$ | Dipolar: $$P^{i}(t)=\int \rho0(t,\vec{r}') x'^i \;\mathrm{d}V'$$ | | Potencia radiada | $$L\mathrm{GW}=\frac{1}{5}\frac{G}{c^5}\langle \dddot{Q}^{ij}\dddot{Q}{ij}\rangle$$ | $$L\mathrm{EM}=\frac{\mu_0}{6\pi}\langle \ddot{P}^k\ddot{P}_k\rangle$$ |