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3.2.13. Coordenadas avanzadas de Eddington-Finkelstein¶
En los 1950 David Finkelstein estudiando las simetrías (en realidad asimetrías) de la superficie especial $r=R_S$ utilizó una idea debida originalmente a Eddington para describir mejor los eventos alrededor de un agujero negro. La idea fue desarrollada posteriormente por Roger Penrose y hoy se conoce como las coordenadas avanzadas de Eddington-Finkelstein.
La idea consiste en hacer un cambio en la coordenada temporal haciendo:
$$ ct'=ct\pm R_S\ln\left|\frac{r}{R_S}-1\right| $$donde el signo $+$ aplica para geodésicas que se alejan del agujero negro y el signo $-$ aplica para aquellas que se acercan a él.
Con este cambio de coordenadas la métrica nos queda:
$$ (\mathrm{d} s)^{2}=c^{2}\left(1-\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}\right)\left(\mathrm{d} t^{\prime}\right)^{2}\mp 2 \frac{R_{\mathrm{S}}}{r} c \mathrm{d} t^{\prime} \mathrm{d} r-r^{2}\left(1+\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}\right)(\mathrm{d} r)^{2}-\mathrm{d}\ell^2 $$Si consideramos movimiento de la luz en dirección radial, la ecuación de las geodésicas nulas (rayos de luz) que caen hacia el agujero negro serán:
\begin{eqnarray} c^{2}\left(1-\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}\right)\left(\mathrm{d} t^{\prime}\right)^{2}\mp 2 \frac{R_{\mathrm{S}}}{r} c \mathrm{d} t^{\prime} \mathrm{d} r-\left(1+\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}\right)(\mathrm{d} r)^{2}=0 \end{eqnarray}Las ecuaciones de la geodésicas nulas se pueden escribir ahora como:
\begin{eqnarray} \left(1+\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}\right)\left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t^{\prime}}\right)^{2}\pm 2c \frac{R_{\mathrm{S}}}{r} \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t^{\prime}}=c^2\left(1-\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}\right) \end{eqnarray}donde el signo "+" es para geodésicas que entran y el "-" para las que salen.
Con el siguiente código podemos resolver esta ecuación diferencial:
from sympy import Function,dsolve,Derivative,init_printing
from sympy.abc import t,R,c
init_printing()
r=Function("r")
resultado=dsolve((1+R/r(t))*Derivative(r(t),t)**2+2*c*R/r(t)*Derivative(r(t),t)-c**2*(1-R/r(t)),r(t))
3.2.14. Coordenadas de Painlevé-Gullstrand¶
Otro conjunto de coordenadas conveniente para descibir la geometría del espacio-tiempo alrededor de un agujero negro son las coordenadas de Painlevé-Gullstrand.
Consideremos una partícula que se suelta desde el reposo en $r=r_0$. Para esta partícula sabemos que a lo largo de su línea de universo:
$$ \left(1-\frac{R_S}{r}\right)\left(\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tau}\right)={\cal E} $$donde
$$ \left(\frac{E_\infty}{m c^{2}}\right)^{2}=1-\frac{R_S}{r_0} $$y también:
$$ \left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau}\right)^{2}=c^{2}R_S\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right) $$Si lanzo la partícula desde una distancia inicial $r_0$ muy grande del agujero negro entonces:
\begin{eqnarray} \nonumber c d \tau & = & -\sqrt{r /R_S} d r \\ \nonumber d \tau & = & (1-R_S/ r) d t \end{eqnarray}Queremos ahora expresar $\mathrm{d}t$ en función de $\mathrm{d}\tau$ y $\mathrm{d}r$. Combinando las ecuaciones obtenemos:
$$ c^{2} d t^{2}=\left(c d \tau-\frac{\sqrt{R_S/ r} d r}{1-R_S/ r}\right)^{2} $$Si reemplazamos en la métrica de Schwarzschild obtenemos:
$$ d s^{2}=(1-R_S/ r)\left(c d \tau-\frac{\sqrt{R_S/ r} d r}{1-R_S/ r}\right)^{2}-(1-R_S/ r)^{-1} d r^{2}-r^{2}\left(d \theta^{2}+\operatorname{sen}^{2} \theta d \varphi^{2}\right) $$que se simplifica como:
$$ d s^{2}=\left(1-\frac{R_S}{r}\right) c^{2} d \tau^{2}-2 \sqrt{\frac{R_S}{r}} c d \tau d r-d r^{2}-r^{2}\left(d \theta^{2}+\operatorname{sen}^{2} \theta d \varphi^{2}\right) $$Esta métrica no tiene ninguna singularidad en $r=R_S$ y de nuevo demuestra que esa singularidad es solo consecuencia de nuestra elección de las coordenadas.
Llamamos a $(\tau,r,\theta,\phi)$ las coordenadas de Painlevé-Gullstrand.
De manera interesante es que una superficie de igual valor de $\tau$ tiene métrica:
$$ \mathrm{d}\ell^2=\mathrm{d}r^2+r^{2}\left(d \theta^{2}+\operatorname{sen}^{2} \theta d \varphi^{2}\right) $$que es la métrica de un espacio plano. No es ese el caso cuando se toma igual valor de $t$ en el que se obtiene un espacio curvo.
Veamos ahora las geodésicas nulas radiales en este espacio:
$$ 0=\left(1-\frac{R_S}{r}\right) c^{2} d \tau^{2}-2 \sqrt{\frac{R_S}{r}} c d \tau d r-d r^{2} $$Esta geodésica se puede escribir como la ecuación diferencial:
$$ \left(\frac{1}{c}\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}\tau}\right)^{2}+2\sqrt{\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}}\left(\frac{1}{c}\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}\tau}\right)=\left(1-\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}\right) $$Las dos soluciones a esta ecuación de segundo grado son:
$$ \frac{1}{c}\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}\tau}=\pm 1-\sqrt{\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}} $$donde el signo $+$ corresponde a la geodésica que sale y el signo $-$ a la geodésica que entra.
En la región exterior, $r>R_S$m donde $R_S/r<1$, la geodésica que sale tiene $\mathrm{d}r/\mathrm{d}\tau>0$ mientras que la geodésica que entra es $\mathrm{d}r/\mathrm{d}\tau<0$. En la superficie del agujero negro la geodésica nula es tal que $\mathrm{d}r/\mathrm{d}\tau=0$, es decir $r=R_S$.
Sin embargo, en la región interior al agujero negro, en la que $r<R_S$ y por tanto $R_S/r>1$, ambas geodésicas, la que entra y la que sale apuntan hacia $r=0$. Este es otra vez un indicio de la asimetría en el espacio-tiempo afuera y adentro del agujero negro.
3.2.15. Coordenadas de Kruskal-Szekeres¶
Uno de los más poderosos sistemas de coordenadas para describir las propiedades del espacio-tiempo de Schwarzschild es el de Kruskal-Szekeres. En este sistema de coordenaas cambiamoslas variables radial y temporal por dos variables nuevas $u$ y $v$ que satisfacen las transformaciones:
\begin{eqnarray} \nonumber v &=e^{r / 2 R_s} \sqrt{1-r / R_S} \cosh \frac{c t}{2 R_S} \\ \nonumber u &=e^{r / 2 R_s} \sqrt{1-r / R_S} \sinh \frac{c t}{2 R_S} \end{eqnarray}para $r>s$ y:
\begin{eqnarray} \nonumber v &=e^{r / 2 R_s} \sqrt{1-r / R_S} \sinh \frac{c t}{2 R_S} \\ \nonumber u &=e^{r / 2 R_s} \sqrt{1-r / R_S} \cosh \frac{c t}{2 R_S} \end{eqnarray}Nótese que:
$$ \left(\frac{r}{R_S}-1\right) e^{r /R_S}=u^{2}-v^{2} $$Para cualquier valor de $r$ se cumple:
\begin{eqnarray} d v & = & \frac{c}{2 R_S} u d t+\frac{1}{2 R_S}(1-R_S/ r)^{-1} v d r \\ d u & = & \frac{c}{2 R_S} v d t+\frac{1}{2 R_S}(1-R_S/ r)^{-1} u d r \end{eqnarray}y la diferencia de los cuadrados es:
$$ (d v)^{2}-(d u)^{2}=\frac{1}{4 R_S^{2}} \frac{u^{2}-v^{2}}{1-R_S/ r}\left[c^{2}(1-R_S/ r) d t^{2}-(1-R_S/ r)^{-1} d r^{2}\right] $$Al lado derecho reconocemos la métrica de Schwarzschild de modo que en estas coordenadas podemos escribir la métrica como:
$$ d s^{2}=\frac{4 R_S^{3}}{r} e^{-r /R_S}\left(d v^{2}-d u^{2}\right)-r^{2}\left(d \theta^{2}+\operatorname{sen}^{2} \theta d \varphi^{2}\right) $$En la métrica vemos que la variable $v$ corresponde a lo que podríamos entender aquí como el tiempo. En cambio $u$ es como el espacio.
Como analizar la geometría en estas coordenadas. Podemos invertir las transformaciones para encontrar el tiempo como función de $u$ y de $v$:
Para $r>R_S$: $$ c t=2 R_S \tanh^{-1}(u / v) $$ y para $r<R_S$:
$$ c t=2 R_S \tanh^{-1}(v / u) $$De aquí vemos que para $v=ku$, $t$ es constante. Cuando $u=v$, $t=\infty$.
Vemos también que valores de $r$ constantes corresponden a hipérbolas. En el exterior:
$$ v^2-u^2=\mathrm{cte} $$y en el interior:
$$ u^2-v^2=\mathrm{cte} $$También vemos que cuando $r=0$ tenemos una hipérbola de valor máximo de $u$.
Las geodésicas nulas en este caso son:
$$ \mathrm{d}u=\pm\mathrm{d}v $$que corresponden a lineas a 45$^\circ$.
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