Nótese que hasta ahora no hemos usado en ningún momento las ecuaciones de campo. ¿Por qué?. Básicamente hemos construído la métrica sobre argumentos y principios de simetría. Sin embargo los parámetros libres de la métrica, a saber la función $a(t)$ y el parámetro $k$ solo podrán determinarse si usamos las ecuaciones de campo.
Primero necesitamos asumir un tensor de momentum-energía para el Universo. Vamos a asumir un fluído perfecto, para el cuál el tensor de momentum energía es el que habíamos escrito en la sección correspondiente:
$$ T^{\mu\nu}_\mathrm{perfecto}=\left(\rho_0+\frac{p_0}{c^2}\right)U^\mu U^\nu-p_0 g^{\mu\nu} $$donde $\rho_0$ y $p_0$ son la densidad y presiones propias del fluído.
Si nos paramos en el sistema de referencia del observador fundamental donde el fluído esta en reposo ($U^t=c,U^i=0$), pero su densidad propia $\rho_0(t)$ puede cambiar en el tiempo, lo mismo que su presión $p(t)$, las componentes no nulas del tensor momentum-energía serán entonces:
$$ T_{00}=\rho_0(t)c^2 g_{00},\;T_{ii}=-p_0 g_{ii} $$Ahora necesitamos calcular las componentes de los tensores relevantes. Para ello usamos el programa en Wolfram Lab poniendo como coeficientes métricos:
$$ g_{\mu\nu} =\left( \begin{array}{cccc} c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -a(t)^2(1-kr^2)^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -a(t)^2r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -a(t)^2 r^2\sin^2\theta \\ \end{array} \right) $$El tensor que nos interesa es el tensor de Riemann y el escalar de Ricci.
Las únicas componentes distintas de cero del tensor de Ricci son:
\begin{eqnarray} \nonumber R_{tt} & = & -3\frac{\ddot{a}}{a}\\ \nonumber c^2 R_{rr} & = & \frac{2c^2 k}{1-kr^2}+\frac{2\dot{a}^2}{1-kr^2}+\frac{a\ddot{a}}{1-kr^2}\\ \nonumber c^2 R_{\theta\theta} & = & r^2 a\ddot{a}+2r^2\dot{a}^2+2c^2 k r^2\\ \nonumber c^2 R_{\phi\phi} & = & r^2 \sin^2\theta a\ddot{a}+2r^2\sin^2\theta \dot{a}^2+2c^2 k r^2\sin^2\theta\\ \end{eqnarray}Este último resultado se puede escribir como:
$$ c^2 R_{ii}=-\frac{g_{ii}}{a^2}(a\ddot{a}+2\dot{a}^2+2c^2k) $$Mientras que el escalar de curvatura es:
$$ c^2R=-6 c^2 \frac{k}{a^2}-6\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2-6\frac{\ddot{a}}{a} $$La ecuación de campo es:
Dado que solo las componentes a lo largo de la diagonal del tensor de momentum energía son distintas de cero:
\begin{eqnarray} R_{tt}-\frac{1}{2}g_{tt} R-\Lambda g_{tt} & = & \frac{8\pi G}{c^4}T_{tt}\\ R_{ii}-\frac{1}{2}g_{ii} R-\Lambda g_{ii} & = & \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii} \end{eqnarray}La componente temporal se puede escribir como:
$$ -3\frac{\ddot{a}}{a}-\frac{1}{2}\left(-6 c^2 \frac{k}{a^2}-6\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2-6\frac{\ddot{a}}{a}\right)-\Lambda c^2=\frac{8\pi G}{c^4}\rho_0 c^2 c^2 $$Que se puede escribir como:
$$ \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=\frac{8\pi G}{3}\rho_0(t)+\frac{\Lambda c^2}{3}-\frac{kc^2}{a^2} $$Por otro lado la componente espacial es:
$$ -\frac{g_{ii}}{a^2c^2}(a\ddot{a}+2\dot{a}^2+2c^2k)-\frac{1}{2c^2}Rg_{ii}-\Lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}(-p_0 g_{ii}) $$Vemos que el resultado es la misma ecuación independientemente de la componente espacial considerada.
La ecuación resultante es: $$ -\frac{\ddot{a}}{a}-2\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2-2\frac{kc^2}{a^2}-\frac{1}{2}\left(-6 c^2 \frac{k}{a^2}-6\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2-6\frac{\ddot{a}}{a}\right)-\Lambda c^2=-\frac{8\pi G}{c^2}p_0 $$
Que se puede simplificar como:
$$ \frac{\ddot{a}}{a}+\frac{1}{2}\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=-\frac{4\pi G}{c^2} p_0+\frac{\Lambda c^2}{2}-\frac{kc^2}{2a^2} $$Nótese que es posible combinar la ecuación inicial con esta ecuación para obtener una ecuación más simple:
$$ \frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left[\rho_0(t)+\frac{3p_0(t)}{c^2}\right]+\frac{\Lambda c^2}{3} $$Definamos la tasa relativa de expansión como:
$$ H\equiv\frac{\dot{a}}{a} $$Esta cantidad indica en que proporción crece que el factor de escala $a(t)=S(t)R$ por unidad de tiempo. $H$ tiene unidades de velocidad sobre tiempo o del inverso del tiempo.
Además introducimos las definiciones que habíamos hecho cuando consideramos la posibilidad que el término cosmológico funcionara como la densidad de un fluído perfecto con densidad:
$$ \rho_\Lambda=\frac{\Lambda c^2}{8\pi G} $$y presión:
$$ p_\Lambda=-c^2\rho_\Lambda=\frac{\Lambda c^4}{8\pi G} $$Las ecuación de Friedmann se pueden escribir como:
\begin{eqnarray} \nonumber H^2 & = & \frac{8\pi G}{3}\rho(t)-\frac{kc^2}{a^2}\\ \nonumber \dot{H}+H^2&=&-\frac{4\pi G}{3}\left[\rho(t)+\frac{3p(t)}{c^2}\right] \end{eqnarray}donde $\rho(t)=\rho_0(t)+\rho_\Lambda$ y $p(t)=p_0(t)+p_\Lambda$ son la densidad total y la presión total, incluyendo todas las formas de masa-energía del universo y la energía oscura.
Una forma particularmente útil de la primera ecuación de Friedmann se puede obtener si se escribe de la forma:
$$ \frac{kc^2}{H^2a^2}=\frac{8\pi G}{3H^2}\rho(t)-1 $$Como vemos todos los términos de esta ecuación son adimensionales y por lo tanto el coeficiente que acompaña la densidad debe tener unidades de inverso de densidad. Esto nos permite introducir un importante parámetro cosmológico conocido como la densidad crítica:
$$ \rho_c(t)\equiv\frac{3H^2}{8\pi G} $$Nótese que la densidad crítica dependerá del parámetro de expansión que a su vez depende del tiempo en general.
Si definimos ahora el parámetro $\Omega$ como:
$$ \Omega(t)\equiv\frac{\rho(t)}{\rho_c(t)} $$entonces la primera ecuación de Friedmann se puede escribir como:
$$ \frac{kc^2}{H^2a^2}=\Omega(t)-1 $$Dado que todas las cantidades que acompañan a $k$ en el lado izquierdo de la ecuación son definidas positivas, esta ecuación permite determinar el tipo de geometría que tendrán las hipersuperficies del universo, dependiendo de su contenido de materia, así:
$$ k= \left\{ \begin{array}{ll} +1 & \mathrm{sii}\;\Omega(t)>1\\ -1 & \mathrm{sii}\;\Omega(t)<1\\ 0 & \mathrm{sii}\;\Omega(t)=1 \end{array} \right. $$Esto implica que la geometría del Universo depende de su contenido de materia-energía comparado con la densidad crítica. ¿Pero cuánto vale la densidad crítica?.