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1.9. Consecuencias de las TLE¶
Las TLE que introdujimos en las secciones anteriores no serían más que reglas matemáticas de transformación requeridas para juzgar si una ley física lo es realmente, sin mayores consecuencias en nuestro entendimiento del Universo. A excepción del resultado un poco sorprendente de que la velocidad de la luz es la misma independiente del sistema de referencia en el que se la mida, las transformaciones no parecerían contener ninguna consecuencia física muy relevante. Sin embargo, cuando se examinan con cuidado, y esto fue justamente lo que hicieron Albert Einstein y Mileva Maric, se descubre que las transformaciones esconden algunos "secretos" bien guardados de la naturaleza del espacio-tiempo. Esencialmente, nos obligan a repensar la manera como pensamos en algunos de los conceptos más fundamentales de la física: el espacio, el tiempo, la simultaneidad, la causalidad, entre otros.
Hemos dicho que una de las ideas más importantes de fondo en la relatividad es que el Universo esta "sumergido" en un continuo espacio-temporal en el que coexisten aquí y allá, hoy, ayer, mañana. Todos los eventos del universo están reunidos en una sola entidad geométrica. Moverse dentro del espacio-tiempo tan solo implica una rotación de los ejes coordenados.
El gran reto de esta sección será mostrar como las propiedades del espacio-tiempo se ven reflejadas en las cantidades que efectivamente medimos en los laboratorios.
1.9.1. Transformación de los intervalos¶
Si tomamos dos eventos en el espacio tiempo $E_1$ y $E_2$ con coordenadas $x_1^\mu:(t_1 x_{1L} y_{1L} z_{1L})^\mathrm{T}$ y $x_2^\mu:(t_2 x_{2L} y_{2L} z_{2L})^\mathrm{T}$, la diferencia entre sus coordenadas espacio-temporales, medida para dos observadores inerciales es de forma general igual a:
$$ \Delta x^{\mu'}={\Lambda^{\mu'}}_{\nu} \Delta x^{\nu} $$En la expresión anterior sabemos que los coeficientes de ${\Lambda^{\mu'}}_{\nu}$ son constantes y es por eso que al calcular la diferencia entre las coordenadas de los eventos, no hemos cambiado esta cantidad.
En términos explícitos, podemos escribir los intervalos asumiendo la configuración estándar como:
\begin{eqnarray} \nonumber \Delta t' & = & \gamma\left(\Delta t - u_L \Delta x_L \right)\\ \nonumber \Delta x'_L & = & \gamma\left(- u_L \Delta t + \Delta x_L\right)\\ \nonumber \Delta y'_L & = & \Delta y_L\\ \nonumber \Delta z'_L & = & \Delta z_L \end{eqnarray}o de forma más general:
\begin{eqnarray} \Delta t' & = & \gamma\left(\Delta t-\vec{u}_L\cdot \Delta\vec{r}_L\right) \\ \Delta \vec{r}'_L & = & \Delta\vec{r}_L+\left(\frac{\gamma-1}{u_L^2} \vec{u}_L\cdot \Delta\vec{r}_L - \gamma \Delta t\right)\vec u_L \end{eqnarray}1.9.2. Dilatación temporal¶
La duración es solo una parte de la diferencia que existe entre dos eventos. Durante la historia de la física esta cantidad ha tenido un papel central en la descripción de los fenómenos. En los Principia por ejemplo, Newton señala que este número solo difiere de un observador a otro por las unidades que utilizan para medir el tiempo, pero que en el fondo todos los observadores miden la misma cantidad y si usaran las mismas unidades, obtendrían el mismo resultado. Esta idea está intímamente ligada con el concepto tiempo absoluto, que era la creencia (que hoy sabemos infundada) de que existe algo así como un tiempo registrado por los relojes de dios (una entidad sobrenatural hipotética que todo lo conoce) que es común a todos los observadores. El tiempo absoluto fue central en la filosofía y la física pre relativista.
Nota 4.8. ¿Relativistico o relativista?. Es frecuente encontrarse en algunos textos en español el adjetivo relativistico para algo que esta relacionado con la teoría de la relatividad de Einstein y sus consecuencias. La palabra es derivada del término relativistic en inglés. Sin embargo el adjetivo relativistico no existe en castellano y es solo una mala trasliteración del término en inglés. El adjetivo correcto es relativista. > También es interesante anotar que aunque lo relativista existe desde los tiempos de Galileo y Newton, el uso se ha generalizado para referirse únicamente a los desarrollos de la relatividad después de los trabajos de Albert Einstein y Mileva Maric.
Por las transformaciones de Lorentz-Einstein sabemos que la duración registrada por dos observadores inerciales es definitivamente distinta, incluso si usan las mismas unidades. Así por ejemplo, si la velocidad relativa entre los observadores es arbitraria $\vec u$, la relación entre la duración de un fenómeno medida en el laboratorio $T$ se relacionará con la duración medida por el viajero $T'$ como:
$$ T = \gamma\left(T'+\vec{u}_L\cdot \Delta\vec{r}'_L\right) $$que en la configuración estándar será:
$$ T = \gamma\left(T'+u_L \Delta x'\right) $$Entender esta última expresión no es fácil. En ella se combinan tiempos con intervalos espaciales $\Delta x'$ de una manera que no es común para nosotros en la física clásica. ¿Qué significa que la duración de un fenómeno para el Observador dependa no solo de su duración para el Viajero, sino de la ubación espacial de los eventos que lo limitan?. Es extraño, pero debemos tratar de entenderlo.
Podemos entender este resultado de dos maneras diferentes. La primera es apelar a los mapas de las transformaciones que construimos en las secciones anteriores. Consideremos dos sistemas de coordenadas que tienen velocidad relativa $u_L=0.3$:
from numpy import array
u=array([0.3,0,0])
Ahora tomemos dos fenómenos limitados por tres eventos $E_0$ y $E_1$ y $E_2$ con coordenadas para el viajero dadas por:
#Las coordenadas son: t', x', y', z'
E0p=array([0,0,0,0])
E1p=array([5,0,0,0])
E2p=array([5,2,0,0])
Llamaremos a los fenómenos ${E_0 E_1}$ y ${E_0 E_2}$. Ambos fenómenos empiezan en el mismo evento, $E_0$. Los eventos $E_1$ y $E_2$ ocurren en el mismo instante en el futuro, pero en lugares diferentes en el espacio. $E_1$ sin emabargo ocurre en el mismo lugar del espacio (medido por el viajero) que el evento inicial $E_0$.
Las coordenadas de los evento para el observador, se pueden calcular usando la matriz de la transformación de Lorentz, que podemos calcular con la rutina Lambda_TLE que introdujimos en una sección anterior:
from export import Lambda_TLE
#Calculamos la inversa porque queremos pasar de O' a O
Lambda=Lambda_TLE(-u)
#Aplicamos las transformaciones
from numpy import matmul
E0=matmul(Lambda,E0p)
E1=matmul(Lambda,E1p)
E2=matmul(Lambda,E2p)
Como era de esperarse las coordenadas para los dos observadores difieren de forma no trivial.
En el siguiente algoritmo usamos la rutina mapa_TLE para mostrar la malla de valores constantes de $t$ y $x$ para los dos observadores inerciales. Allí representamos además la posición de los eventos
%matplotlib inline
from export import mapa_TLE
fig=mapa_TLE(*u)
ax=fig.gca()
ax.annotate("E0",xy=(E0[0],E0[1]),arrowprops={'fc':'k'});
ax.annotate("E1",xy=(E1[0],E1[1]),arrowprops={'fc':'k'});
ax.annotate("E2",xy=(E2[0],E2[1]),arrowprops={'fc':'k'});
Como vemos en el gráfico, la duración del fenómeno $E_0E_1$ que para el Viajero es $T'=5$, es mayor para el Laboratorio $T=5.24$. Por otro lado el fenómeno $E_0 E_1$ que también dura $T'=5$ para el Viajero, pero que ocurre en lugares muy separados del espacio, tiene para el Observador una duración aún mayor $T=5.87$.
Tres cosas son claras sin embargo:
Las duraciones de los eventos no son las mismas registradas por distintos observadores y esto contradice abiertamente nuestras intuiciones clásicas del tiempo.
La duración de cualquier fenómeno es mayor en el Laboratorio que para el Viajero. Este resultado se conoce de forma general en relatividad como dilatación del tiempo.
La duración de dos fenómenos depende del lugar del espacio en el que ocurran los eventos que los limitan.
La diferencia entre la duración para el Viajero y el Laboratorio tiene un valor mínimo si el fenómeno ocurre en reposo en el laboratorio (los eventos que lo limitan ocurren en el mismo lugar).
Este último resultado conduce a una importante definición en relatividad:
En el ejemplo anterior la duración propia del fenómeno $E_0 E_1$ es $T_0=T'=5$ y es la que es medida por el Viajero, que es donde los dos eventos ocurren en el mismo lugar del espacio $\Delta x'=0$.
La duración propia del fenómeno $E_0 E_2$, por otro lado, no es $T'=5$ (que es la duración mide el Viajero). Tampoco es $T=5.8$ (la que mide el Laboratorio). Para hallarla tendríamos que construir un sistema de referencia en el que $E_0$ y $E_2$ ocurrieran en el mismo lugar del espacio. Es claro de la figura anterior que el nuevo sistema de referencia debe tener una velocidad $v$ mayor que la velocidad $u$ del Viajero.
En el gráfico abajo vemos que si nos montamos en un sistema de referencia con una velocidad $v_L\approx 0.63$, los dos eventos $E_0$ y $E_2$ ocurren en el mismo lugar del espacio:
from export import mapa_TLE
v=array([0.63,0,0])
fig=mapa_TLE(*v)
ax=fig.gca()
ax.annotate("E0",xy=(E0[0],E0[1]),arrowprops={'fc':'k'});
ax.annotate("E1",xy=(E1[0],E1[1]),arrowprops={'fc':'k'});
ax.annotate("E2",xy=(E2[0],E2[1]),arrowprops={'fc':'k'});
La duración registrada por este nuevo sistema de referencia ahora si será la duración propia del fenómeno $E_0 E_2$, y vemos es aún menor que 5.
¿Cómo encontramos la velocidad $v_L\approx 0.63$?. Esta no es otra cosa que la velocidad obtenida dividiendo diferencia en $x$ medida en el laboratorio ($\Delta x_L=3.7$), y la duración $T=5.9$ en el mismo sistema de referencia:
$$ v_L\equiv\frac{\Delta x_L}{T} $$Llamaremos a esta, la velocidad asociada con el fenómeno. Nótese que la velocidad asociada con el fenómeno no es la de una partícula u objeto real. Es simplemente la velocidad que debería tener un observador inercial viajero para que ambos eventos ocurran en el mismo lugar del espacio.
En términos de la velocidad asociada con cualquier fenómeno, la relación entre su duración en el laboratorio $T$ y su duración propia $T_0$ será, en virtud de las TLE:
$$ \begin{array}{rcl} T & = & \gamma(v_L) \left(T'+v_L \Delta x'\right)\\ & = & \gamma(v_L) T_0\\ \end{array} $$puesto que en este sistema asociado al fenómeno $\Delta x'=0$.
Proposición: La duración propia es la mínima duración. La duración $T$ de un fenómeno con una velocidad asociada $v_L$ es:
$$T = \gamma(v_L) T_0$$donde $T_0$ es su duración propia del fenómeno, $v_L=\Delta x_L/T$ es la velocidad asociada al fenómeno y $\gamma(v_L)=(1-v_L^2)^{-1/2}$. $T$ es siempre mayor que la duración propia o en otras palabras la duración propia es la mínima duración que podemos asociar a un fenómeno.
Vemos en esta definición que el factor de Lorentz-Einstein, $\gamma$ juega un papel muy importante porque nos da la razón entre la duración de un fenómeno y su duración propia:
$$ \gamma=\frac{T}{T_0} $$Nota: Gamas distintos. Es importante también entender que el $\gamma$ que asociamos a un fenómeno, no es conceptualmente el mismo que el que usamos en las transformaciones de Lorentz. La razón más obvia es que el $\gamma$ de un fenómeno, depende de una velocidad, la velocidad asociada al fenómeno que puede o no ser una velocidad real. En cambio el $\gamma$ de las transformaciones de Lorentz esta asociado con la velocidad relativa entre dos sistemas de referencia muy reales. Las fórmulas son las mismas, el origen del factor es el mismo pero conceptualmente las dos cantidades son distintas.
Con todos estos elementos a la mano podemos finalmente formular este resultado:
Un ejemplo clásico de esto es la desintegración radioactiva de una partícula elemental. Si la partícula está en reposo respecto al Observador, su tiempo de decaimiento será el tiempo propio. En cambio si la partícula se mueve con velocidad constante $v_L$ con respecto a él, su tiempo de decaimiento será mayor. Las partículas duran más en movimiento que en reposo.
1.9.3. Intervalos espacialoides y temporaloides¶
En el apartado anterior definimos cantidades asociadas a los eventos extremos de un fenómeno (cuándo y dónde empieza y cuándo y dónde termina). Geométricamente siempre es posible trazar una línea recta entre dos fenómenos del espacio tiempo. Esta línea recta tiene un nombre muy específico en relatividad:
¿Qué es físicamente el intervalo espacio-temporal? Como cada punto del segmento es en sí mismo un evento, el intervalo es un fenómeno también (una colección de eventos). ¿Qué relación guardan esos eventos?. He ahí el problema.
Comencemos por el caso más simple. Dos eventos que ocurren en el mismo lugar del espacio. En ese caso los puntos del intervalo corresponden a los eventos que le ocurren a un observador local que esta justamente en reposo en el lugar donde ocurren los eventos.
Consideremos ahora dos eventos que ocurren en lugares distintos del espacio pero tal que $\Delta x_L<T$. La velocidad asociada con el fenómeno será $v_L=\Delta x_L/T<1$. Por lo tanto en este caso, siempre es posible encontrar un observador inercial tal que los dos eventos ocurran en el mismo lugar del espacio. Este intervalo y el anterior serán entonces conceptualmente equivalentes.
En los dos casos anteriores y por las definiciones dadas en secciones anteriores, para este tipo de fenómeno siempre será posible definir un tiempo propio. Es por esta razón que los llamamos intervalos temporaloides (en inglés time-like).
Pero ¿qué pasa en el caso en el que $\Delta x_L>t$? En este caso la velocidad asociada $v_L=\Delta x_L/T>1$ y por la misma razón no será posible encontrar un observador un sistema de referencia para el cuál los eventos ocurran en el mismo lugar del espacio. Decimos que los eventos no tienen una separación temporaloide y por lo tanto tampoco constituyen un fenómeno.
En este caso, sin embargo, si es posible encontrar un observador para el cuál los dos eventos ocurren al mismo tiempo (son simultáneos), es decir, tienen la misma coordenada $t'$: están en lugares distintos del espacio pero son simultáneos para ese observador hipotético. Al intervalo entre eventos de este tipo los llamaremos intervalos espacialoides (en inglés space-like).
¿Y que pasa si $\Delta x_L=t$? Por definición este intervalo estará limitado por eventos en los que solo puede estar un rayo de luz (o cualquier otra onda que viaje a esa velocidad). Por esa razón a estos intervalos los llamamos intevalos luminoides.
1.9.4. El postulado de los relojes¶
En las sección anterior existe una imprecisión. Definimos la duración propia entre dos eventos (separados por un intervalo temporaloide) como la duración medida por un observador en el que los eventos se registran en el mismo lugar del espacio. Sin embargo nunca específicamos el lugar de los eventos intermedios del fenómeno.
Así por ejemplo, si el fenómeno es el movimiento de una partícula en un sincrotrón, para el Laboratorio el fenómeno "la partícula da una vuelta completa" esta limitado por eventos que ocurren en el mismo lugar del espacio. Podría uno decir que la duración propia del fenómeno es la que mide por tanto el Laboratorio. Pero podemos también preguntarnos ¿qué miden los relojes de la partícula?
Esta pregunta no tiene ninguna respuesta en el marco de la teoría tal y como ha sido formulada hasta ahora. La razón es sencilla. No existe ningún sistema de referencia inercial que podamos asociar a la partícula. Todos los resultados obtenidos hasta ahora solo aplican para este tipo de sistemas de referencia.
¿Qué hacer entonces?. Una construcción posible sería la de suponer que lo que observa la partícula (al menos en términos de la medida de duraciones) es la acumulación de los efectos observados por una infinidad de sistemas de referencia inerciales que instantáneamente se mueven con la velocidad (variable) $v(t)$ de la partícula.
Definición 4.11. línea de universo. La línea de universo de una partícula es la colección de todos los eventos en los que está la partícula al pasar el tiempo. Geométricamente, la línea de universo es la concatenación de intervalos microscópicos temporaloides. entre puntos adyacentes de su trayectoria.
Podemos dividir la línea de universo de la partícula en intervalos temporaloides infinitesimales. La duración propia de cada subintervalo será:
$$ \mathrm{d}\tau=\frac{1}{\gamma}\mathrm{d}t $$donde por razones que veremos en un momento, hemos llamado $\mathrm{d}\tau$ y $\mathrm{d}t$ y no $\mathrm{d}T_0$ y $\mathrm{d}T$, a las duraciones propia y medida del intervalo infinitesimal.
La construcción anterior se puede expresar matemáticamente diciendo que el tiempo propio asociado a la trayectoria de la partícula será:
$$ T_0=\int_0^t \mathrm{d}\tau $$Pero esto, ¡no es más que una suposición!. Pero es una suposición tan importante que ha sido elevada a la altura de un postulado:
$$ \Delta\tau[v_L](t)=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1-v_L(t)^2} \mathrm{d}t $$Postulado: Postulado de los relojes o hipótesis de los relojes. El tiempo propio medido por un observador que se mueve en una trayectoria espacial con velocidad variable ${\vec v}(t)$ (tiempo medido por relojes ideales transportador por el observador) entre dos eventos limitados por $t=t_1$ (inicio de la línea de universo) y $t=t_2$ es igual a:
Varias anotaciones:
Representamos el tiempo propio como $\tau$ por que de la misma manera que $t$ puede usarse como un parámetro para distinguir cada punto de la línea de universo, $\tau$ puede jugar también el mismo papel.
La notación $\Delta\tau[v]$ indica que $\tau$ es un funcional de $v(t)$. En términos físicos, por cada $v(t)$ hay un $\tau$ diferente.
La duración propia $T_0$ que habíamos definido antes entre dos eventos, es igual al tiempo propio $\tau(T)$ medido a lo largo del intervalo entre ellos:
$$ \Delta\tau=\frac{1}{\gamma}\Delta t $$ que es la forma más común en la que se presenta este resultado.
Nota 4.12. atraso presente y atraso acumulado. Un efecto muy importante asociado al atraso de los relojes por movimiento tiene que ver con el efecto de la aceleración. A la luz del postulado de los relojes podemos preguntarnos: ¿produce la aceleración dilatación temporal o atraso de los relojes?. Para responder esta pregunta debemos distinguir dos conceptos:
El atraso presente es el efecto que produce en los relojes de un viajero la velocidad a la que se mueve. La velocidad produce un atraso presente a través de la expresión: $$ \mathrm{d}\tau=\frac{1}{\gamma}\mathrm{d}t $$ sin embargo la aceleración no tiene ese efecto. A pesar de que la velocidad, de la que depende $\gamma$ puede variar en virtud de una aceleración, la aceleración no aparece explícitamente en $\gamma$. Decimos que la aceleración no produce atraso presente.
El atraso acumulado es el que se produce a lo largo de una línea de universo en la que la velocidad no es constante:
$$ \Delta\tau[v_L](t)=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1-v_L(t)^2} \mathrm{d}t $$Nótese que aunque la aceleración tampoco aparece explícitamente en esta expresión es claro que afectará el resultado de la expresión a través de la integral. Decimos que la aceleración produce atraso acumulado.
1.9.5. Contracción de longitudes¶
De la misma manera que podemos definir la duración de un fenómeno (una colección de intervalos temporaloides), se puede definir la longitud de un objeto (una colección de intervalos espacialoides).
Pensemos por ejemplo en una regla de 30 cm sobre una mesa. En un momento dado (un valor específico del tiempo) los eventos que definen el estado de los extremos de la regla, están naturalmente separados por intervalos espacialoides. Imaginemos que la regla rotará 180 grados. ¿Cómo se define la longitud de la regla? Ciertamente pensar en la longitud simplemente como la diferencia entre las posiciones espaciales de dos eventos cualquiera en los extremos no es adecuado. Uno podría definir como evento 1 "centímetro cero de la regla al principio" y el evento 2 "centrimetro 30 de la regla al final". Si se hiciera así la regla mediría 0 centímetros (porque después de la rotación en 180 grados el centímetro 30 quedaría en la misma posición que el centímetro 0).
Para definir la longitud de un objeto se debe tomar la posición espacial de sus extremos (de cualquier sección transversal) en el mismo tiempo.
Definición 4.13. Longitud de un objeto. Dado un objeto que esta limitado en un instante dado, por eventos espacialoides, definimos la longitud instantánea del objeto en una cierta dirección, como la diferencia entre las coordenadas espaciales en esa dirección de eventos que en el sistema de referencia ocurren simultáneamente.
¿Es la longitud de una regla transportada por el Viajero igual para el Viajero y el Laboratorio?. Los eventos $E_1$ y $E_2$ de nuestro ejemplo anterior satisfacen la condición de ser eventos espacialoides para ambos observadores.
Para el viajero la longitud de un objeto limitado por ellos será:
Lp=E2p[1]-E1p[1]
El problema es que la longitud medida por el Observador no puede obtenerse de estos dos eventos puesto que en sus sistema de referencia ellos no son simultáneos. Para encontrar la longitud en este sistema, hay que encontrar un evento $E_2$ que sea para el observador simultáneo a $E_1$. Veamos esto gráficamente:
Por inspección en la figura se ve que al identificar ese evento, la diferencia de coordenadas será menor en el sistema de referencia del laboratorio:
$$ L(\mathrm{Laboratorio})<L(\mathrm{Viajero}) $$¿Cuál es esa diferencia?. Podemos usar las transformaciones de Lorentz para encontrarla. Para ello usemos:
$$ \Delta x' =\gamma(-u_L \Delta t + \Delta x) $$La separación espacial entre dos eventos que estén en los extremos de la regla, siempre será $L_0$ para el Viajero. Para el Laboratorio la separación entre esos eventos solo será la longitud $L$ si los eventos son tales que $\Delta t=0$. De la anterior relación obtenemos entonces que:
$$ L_0 =\gamma(-u_L 0 + L) $$o bien
$$ L_0=\gamma L $$1.9.6. Adición de velocidades¶
Una de las consecuencias más sonadas de las TLE es la manera como transforman las velocidades. De acuerdo con las Transformaciones de Galileo-Newton, si una partícula tiene una velocidad ${\vec v}'$ para un Viajero que se mueve con velocidad relativa $\vec u$ respecto a un Observador, su velocidad $\vec v$ para el Observador será simplemente:
$$ \vec v = {\vec u}+{\vec v}' $$¿Qué pasa en el caso de la relatividad?. Para calcular la manera como se relacionan escojamos un sistema de ejes coincidentes (eje $x$ en dirección de $\vec u$) y notemos que transcurrido un intervalo de tiempo infinitesimal $dt'$ en el sistema de referencia del Viajero, el tiempo y las posiciones en los tres ejes medidas por el Viajero y el observador cambiarán de acuerdo con:
\begin{eqnarray} \nonumber \mathrm{d}t & = & \gamma\left(\mathrm{d}t'+u_L \mathrm{d}x'_L \right)\\ \nonumber \mathrm{d}x_L & = & \gamma\left(u_L \mathrm{d}t + \mathrm{d}x_L\right)\\ \nonumber \mathrm{d}y_L & = & \mathrm{d}y'_L\\ \nonumber \mathrm{d}z_L & = & \mathrm{d}z'_L \end{eqnarray}La velocidad instantánea se define como $\mathrm{d}{\vec v}_L/\mathrm{d}t$, de modo que dividiendo término a término los intervalos infinitesimales de espacio obtenemos:
\begin{eqnarray} \nonumber v_x & = & \frac{u_L +v'_{xL}}{1+u_L v'_{xL}}\\ \nonumber v_y & = & \frac{1}{\gamma}\frac{v'_{yL}}{1+u_L v'_{xL}}\\ \nonumber v_z & = & \frac{1}{\gamma}\frac{v_{zL}}{1+u_L v'_{xL}} \end{eqnarray}o si definimos:
$$ D\equiv \frac{1}{1+u_L v'_{xL}} $$entonces:
\begin{eqnarray} \nonumber v_x & = & D(u_L+v'_{xL})\\ \nonumber v_y & = & \frac{D}{\gamma}v'_{yL}\\ \nonumber v_z & = & \frac{D}{\gamma}v'_{zL} \end{eqnarray}Nótese que si $\vec v_L':(1,0,0)$ (un rayo de luz) entonces:
$$ D=\frac{1}{1+u_L} $$y la velocidad medida por el observador será:
$$ v_{xL}=\frac{1}{1+u_L}(u_L+1)=1 $$Es decir, la teoría desarrollada es autoconsistente, en tanto la velocidad de un rayo de luz será la misma sin importar el observador.
Usando las transformaciones generales de Lorentz-Einstein es posible generalizar la ley de adición de velocidades relativistas como:
\begin{eqnarray} \nonumber v_{\parallel L} & = & D(u_L+v'_{\parallel L})\\ \nonumber v_{\perp L} & = & \frac{D}{\gamma}v'_{\perp L}\\ \end{eqnarray}donde
$$ D\equiv \frac{1}{1+\vec{u}_L\cdot \vec{v}'_{L}} $$1.9.7. Transformación de aceleraciones¶
Un procedimiento similar pero mucho más laborioso algebraicamente conduce al resultado:
\begin{eqnarray} \nonumber a_{\parallel L} & = & \frac{D^3}{\gamma^3}a'_{\parallel L}\\ \nonumber a_{\perp L} & = & \frac{D^3}{\gamma^2}\left[a'_{\perp L}+\left(\vec{v}'_{L}\cdot \vec{u}_{L} a'_{\perp L}-\vec{a}'_{L}\cdot \vec{u}_{L} v'_{\perp L}\right)\right]\\ \end{eqnarray}En este último caso, nótese que si $\vec v'=0$ (la partícula se encuentra en reposo respecto al Viajero), la tramsformación para la componente perpendicular de la aceleración se reduce a:
$$ a^0_{\perp L} = \frac{D^3}{\gamma^2}a'^0_{\perp L} $$donde el superíndice 0 indica que es la aceleración calculada para la partícula en reposo en el sistema del viajero.
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