1.1. El espacio-tiempo de Minkowski¶
Una forma poderosa de sintetizar todos los resultados anteriores fue presentada en un artículo en 1908 por Herman Minkowski quién había sido profesor de Albert Einstein en la Universidad. Al principio Einstein considero esta formulación de la teoría especial de la relatividad una curiosidad matemática. Esto fue hasta que en 1912 y después de 5 largos años de esfuerzos en la búsqueda de una generalización de la teoría, Einstein descubrió que la mejor manera de describir matemáticamente la relatividad era usando la aproximación geométrica de Minkowski.
1.10.1. La norma de Minkowski¶
Hasta ahora hemos usado los diagramas de espacio-tiempo como una mera herramienta gráfica para representar las TLE y sus consecuencias. Sin embargo es posible concebir los puntos en estos diagramas como formando un espacio geométrico con propiedades más generales.
Considere por ejemplo la situación representada con el siguiente algoritmo:
%matplotlib inline
from export import mapa_TLE
fig=mapa_TLE(ux=0.3,ngrid=20,nticks=20)
ax=fig.gca()
ax.plot([3,9],[3,7],'k-',lw=5)
ax=fig.gca()
Vemos allí un intervalo espacio temporal (línea negra). Podemos usar las TLE o el mismo gráfico para encontrar las coordenadas espacio-temporales de los eventos que limitan el intervalo:
from numpy import array
#Observador
E1=array([3,3,0,0])
E2=array([9,7,0,0])
#Viajero
Ep1=array([2.25,2.25,0,0])
Ep2=array([7.25,4.5,0,0])
Como vemos las cooredanadas espacio-temporales son muy diferentes al aplicar una transformación hiperbólica en el espacio-tiempo, lo que era de esperarse por las TLE. Si pensamos ahora el problema desde un punto de vista geométrico y miramos el gráfico nos damos cuenta que hay una propiedad del intervalo que no puede ser distinta a pesar de la rotación hiperbólica. Esa propiedad es la longitud del intervalo. Pero, ¿cuánto vale esa longitud?.
Si usamos la fórmula clásica de la longitud (también llamada norma euclidiana), la distancia en el espacio-tiemp $\Delta s$ entre los eventos sería:
$$ \Delta s_\mathrm{L,Euclidiana}^2=\Delta t^2+\Delta x_L^2+\Delta y_L^2+\Delta z_L^2 $$obtenemos:
#Observador
Ds2=(E2[0]-E1[0])**2+\
(E2[1]-E1[1])**2+\
(E2[2]-E1[2])**2+\
(E2[3]-E1[3])**2
#Viajero
Dsp2=(Ep2[0]-Ep1[0])**2+\
(Ep2[1]-Ep1[1])**2+\
(Ep2[2]-Ep1[2])**2+\
(Ep2[3]-Ep1[3])**2
Como vemos las distancias calculadas entre los dos eventos no son las mismas. Este hecho es ciertamente preocupante puesto que una propiedad que debería ser obviamente la misma resulta relativa.
Nota: Unidades de $\mathrm{d}s$. Como vemos las unidades de la amétrica $\mathrm{d}s$ son las mismas unidades que escojamos usar para $t$ o para $x$. En la elección que hemos hecho en este libro, es decir, en unidades luz en el que el tiempo se mide en segundos y las distancias en segundos-luz, la métrica se escribe $\mathrm{d}s_L$ tiene unidades de tiempo.
Herman Minkowski encontró la solución a este problema, mostrando que la norma en el espacio-tiempo debía ser distinta:
$$ \Delta s_\mathrm{L,Minkowski}^2=\Delta t^2-(\Delta x_L^2+\Delta y_L^2+\Delta z_L^2) $$¿Por qué el signo menos?. Comprobémoslo numéricamente:
#Observador
Ds2=(E2[0]-E1[0])**2-\
((E2[1]-E1[1])**2+\
(E2[2]-E1[2])**2+\
(E2[3]-E1[3])**2)
#Viajero
Dsp2=(Ep2[0]-Ep1[0])**2-\
((Ep2[1]-Ep1[1])**2+\
(Ep2[2]-Ep1[2])**2+\
(Ep2[3]-Ep1[3])**2)
El signo menos garantiza que efectivamente la distancia entre los eventos sea la misma (aproximadamente) en nuestro ejemplo sencillo.
Proposición: Norma de Minkowski. La distancia entre dos eventos infinitesimalmente cercanos en el espacio-tiempo en un sistema de referencia inercial es:
$$\mathrm{d}s_L^2=\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}l_L^2$$donde $\mathrm{d}l_L$ es la norma euclidiana que en coordenadas cartesianas $\mathrm{d}l_L=\sqrt{\mathrm{d}x_L^2+\mathrm{d}y_L^2+\mathrm{d}z_L^2}$. Esta distancia es independiente del observador que la mida.
Es fácil mostrar que la norma de Minkowski es invariante bajo transformaciones de Lorentz-Einstein, que es el objetivo que perseguíamos (ver Problemas al final del capítulo).
1.10.2. Las variedades de Lorentz y la métrica de Minkowski¶
Hay una sutil diferencia entre lo que llamamos una norma, que es la manera como definimos la magnitud de los vectores en un espacio vectorial (en este caso, el vector desplazamiento en el espacio-tiempo $\mathrm{d}x^\mu$) y un concepto geométrico más general, el concepto de métrica.
Para introducir este concepto es necesario primero introducir una serie de definiciones matemáticas generales que usaremos a lo largo del texto:
Definición 4.14. Espacio métrico o espacio normado. Un espacio métrico es un conjunto $X$ sobre el que podemos definir una función bilineal $g$ entre los elementos del espacio:
$$g:X\times X\rightarrow {\rm I\!R}^3$$que cumple:
- Es positiva: $g(p,q)\geq 0$.
- Es simétrica: $g(p,q)=g(q,p)$.
- No es degenerada: $g(p,q)=0$ si $p=q$.
Donde $p$ y $q$ son elementos del conjunto $X$. A la función $g$ se la llama función distancia o métrica.
La binealidad de la métrica se expresa mediante las propiedades:
- $g(\lambda p_1 + p_2,q)=\lambda g(p_1,q)+g(p_2,q)$
- $g(p,\lambda q_1 + q_2)=\lambda g(p,q_1)+g(p,q_2)$
El espacio métrico mejor conocido es el espacio euclidiano ${\rm I\!R}^3$, cuyos elements podemos denotar como $p:(x_p,y_p,z_p)$ y que tiene métrica:
$$ g(p,q)=(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2+(z_p-z_q)^2 $$Los conceptos de espacio métrico y métrica se pueden generalizar para construir un conjunto de definiciones que se presentan a continuación de manera intuitiva (definiciones más rigurosas pueden encontrarse en textos de geometría diferencial):
Definición 4.15. Conceptos de Variedad. Una variedad. es una estructura matemática (un conjunto y unas reglas para definir la distancia entre los puntos, es decir, una métrica), que en terminos intuitivos generaliza a n-dimensiones los conceptos de curva (1-variedad) y superficie (2-variedad). El espacio euclidiano ${\rm I\!R}^3$ es una 3-variedad (trivariedad). El espacio-tiempo es una 4-variedad (cuadrivariedad).
Una variedad diferenciable es aquella sobre la que podemos definir funciones (campos escalares, campos vectoriales y campos tensoriales) y la operación de derivación. Es decir, sobre una variedad diferenciable se pueden definir y realizar las operaciones propias del cálculo. Así mismo, y usando el mismo cálculo, sobre una variedad diferenciable se puede definir el concepto de longitud de arco.
Alrededor de cada punto de una variedad diferenciable se puede definir un espacio tangente que es una variedad euclidiana que comparte con la variedad original un solo punto. Así por ejemplo: sobre la superficie de una esfera (2-variedad) podemos definir un plano tangente.
Una variedad de Riemann es una variedad diferenciable que localmente es similar (homeomórfica) al espacio euclidiano. Un ejemplo de una variedad de Riemann es la superficie de una esfera (2-variedad) que tiene una métrica muy específica. Localmente esta superficie es similar a un plano (2-variedad).
Una pseudo variedad de Riemann es una variedad diferenciable en la que la función métrica no necesariamente satisface la condición de ser positiva. Localmente una pseudo variedad de Riemann no es similar al espacio ecuclidiano, sino al que se conoce como el espacio pseudo euclidiano, que es aquel en el que la función métrica se escribe de forma general como:
$$ g(p,q)=(p_1-q_1)^2+\ldots+(p_k-q_k)^2+\ldots-(p_{k+1}-q_{k+1})^2+\ldots-(p_{N}-q_{N})^2 $$Nótese que esta métrica es prácticamente idéntica a la métrica euclidiana, excepto por el signo menos de los últimos términos. Se dice que esta métrica tiene signatura (signature): $(k,N-k)$
Una variedad de Lorentz es una pseudo variedad de Riemann con una métrica (forma bilineal cuadrática) son signatura (1,N-1).
De acuerdo con estas definiciones podemos decir que lo que encuentra Minkowski al demostrar que la norma es la que definimos antes es que el espacio-tiempo es una variedad diferenciable pseudo euclidiana con signatura (1,3) y métrica (en el sistema de coordenadas cartesianas):
$$g(x^\mu,x^\mu+\mathrm{d}x^\mu)=\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}x_L^2-\mathrm{d}y_L^2-\mathrm{d}z_L^2$$En el sistema de coordenadas cilíndricas, la métrica de Minkowski será:
$$g(x^\mu,x^\mu+\mathrm{d}x^\mu)=\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}r_L^2-r^2\mathrm{d}\theta_L^2-\mathrm{d}z_L^2$$Si usaramos un sistema de coordenadas generalizado y no necesariamente ortogonal, la métrica podría escribirse de forma general como:
$$ g(x^\mu,x^\mu+\mathrm{d}x^\mu)=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu $$donde $g_{\mu\nu}(x^{\alpha})$ son cantidades que en general dependen de la posición en el espacio (como lo vemos en la métrica de Minkowski escrita en coordenadas polares y que se conocen como coeficientes métricos.
Por comodidad usaremos la notación: $$ \mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu $$
En el caso del espacio-tiempo de un observador inercial los coeficientes métricos en coordenadas cartesianas son:
$$ g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}\equiv \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right) $$Proposición: La métrica es un tensor. La métrica $g_{\mu\nu}$ es un campo tensorial covariante de segundo orden, es decir, al hacer un cambio de coordenadas $x^{\mu'}(x^{\nu})$ la métrica transforma como:
$$ g_{\mu'\nu'}=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\mu'}}\frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\nu'}}g_{\alpha\beta} $$
El espacio-tiempo entonces es una variedad diferenciable pseudo-euclidiana con una métrica de signatura $(1,3)$, que llamamos de forma más específica en el contexto de la física, la métrica de Minkowski. Pero más allá de lo rimbombante que estas afirmaciones pueda sonar ¿qué implicaciones tiene todo esto para la relatividad en particular y para la física en general?.
1.10.3. Métrica y tipos de intervalos¶
Usando la métrica de Minskowski podemos definir los tipos de intervalos así:
Intervalo temporaloide. Este tipo de intervalos se definieron como aquellos en los que se puede encontrar un sistema de referencia en el que los eventos límite ocurran en el mismo lugar del espacio. En otros términos, son intervalos para los cuales se puede encontrar una partícula física que viaje entre ellos. Como sabemos que las partículas viajan con velocidad $u_L<1$ entonces $\mathrm{d}l_L^2<\mathrm{d}t^2$ y por lo tanto:
$$\mathrm{d}s^2>0$$
Intervalo espacialoide. Este tipo de intervalos se definieron como aquellos en los que no se puede encontrar un sistema de referencia en el que los eventos límite ocurran en el mismo lugar del espacio. En otros términos, son intervalos para los cuales no existe una partícula física que viaje entre ellos. Como sabemos que las partículas viajan con velocidad $u_L<1$ entonces $\mathrm{d}l_L^2>\mathrm{d}t^2$ y por lo tanto:
$$\mathrm{d}s^2<0$$
Intervalo luminoide. Este tipo de intervalos se definieron como aquellos en los que no se puede encontrar un sistema de referencia en el que los eventos límite ocurran en el mismo lugar del espacio, y tampoco en el mismo lugar del tiempo (eventos simultáneos). Solo es posible encontrar rayos de luz que viajen entre ellos, es decir: $\mathrm{d}l_L^2=\mathrm{d}t^2$ y por lo tanto:
$$\mathrm{d}s^2=0$$
1.10.4. Métrica y tiempo propio¶
En un sistema de referencia en el que dos eventos (con un intervalo temporaloide) separados en el sistema de referencia del Observador por una distancia $\mathrm{d}\vec{r}_L$, ocurren en el mismo lugar del espacio, la distancia espacio-temporal es simplemente:
$$ \mathrm{d}s_L^2 = \mathrm{d}\tau^2-0^2 $$o bien
$$ \mathrm{d}s_L = \mathrm{d}\tau $$donde hemos usado de una vez $\tau$ para representar el hecho de que en este sistema de referencia y como se explico en sesiones anteriores, este tiempo es el tiempo propio entre los eventos.
Dada la invarianza de la métrica para todos los observadores podemos concluir que en el caso de intervalos temporaloides y en unidades luz la métrica (la distancia espacio-temporal entre eventos) no es otra cosa que el tiempo propio entre esos eventos.
Si por el contrario tenemos eventos espacialoides, podemos siempre encontrar un sistema de referencia en el que los eventos límite ocurren en el mismo momento del tiempo, es decir su separación esta relacionada es con la distancia propia entre esos eventos:
$$ \mathrm{d}s_L^2 = 0^2-\mathrm{d}\lambda_L^2 $$que se podría escribir como:
$$ \sqrt{-\mathrm{d}s_L^2}=\lambda_L $$Dada la invarianza de la métrica para todos los observadores podemos concluir que en el caso de intervalos espacialoides y en unidades luz la métrica (la distancia espacio-temporal entre eventos) esta relacionada con la distancia propia entre esos eventos.
1.10.5. Métrica, dilatación del tiempo y contracción de longitudes¶
Con las definiciones del aparte anterior se puede entender de forma inmediata la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes.
Consideremos por ejemplo un fenómeno limitado por dos eventos y un intervalo temporaloide. La distancia entre los eventos será:
$$ \mathrm{d}\tau^2=\mathrm{d}t^2- \mathrm{d}l_L^2 $$donde de una vez hemos usado el hecho que $\mathrm{d}s_L^2=\mathrm{d}\tau^2$.
Si reconocemos que $\mathrm{d}l_L/\mathrm{d}t=v_L$ es simplemente la velocidad del Viajero, llegamos a la relación conocida:
$$ \mathrm{d}\tau=\frac{1}{\gamma}\mathrm{d}t $$es decir, la dilatación del tiempo es la manifestación directa de la métrica de Minkowski.
El caso de la contracción de longitudes es un poco más truculento. Para definir la longitud de un objeto que esta en reposo para el Viajero, es necesario tomar dos eventos asociados al objeto que ocurren simultáneamente en el sistema del Laboratorio. Para estos dos eventos la distancia medida en los dos sistemas de referencia serán:
$$ -\mathrm{d}x_L^2=\mathrm{d}t'^2-\mathrm{d}\lambda^2 $$Aquí hay que tener en cuentra que en el sistema del viajero los dos eventos no ocurren simultáneamente sino que ocurren separados por un tiempo $\mathrm{d}t'=u_L \mathrm{d}\lambda$, de allí que:
$$ \mathrm{d}x_L=\frac{1}{\gamma}\mathrm{d}\lambda $$que ya habíamos obtenido.
1.10.6. Vectores y cálculo en el espacio de Minkowski¶
Posiblemente la más importante de las consecuencias de la geometrización de la relatividad, es la idea de que las leyes de la física pueden escribirse en términos de vectores y tensores en el espacio-tiempo y al hacerlo tener la covariancia que esperamos de ellas de acuerdo con el postulado de relatividad. Veamos porque.
En el espacio métrico de Minkowski, el vector prototipo es el vector intervalo. Este vector transforma de acuerdo con las TLE como: $$ \mathrm{d}x^{\mu'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu}}\mathrm{d}x^\nu $$
Habíamos explicado antes que esta transformación es el equivalente a una rotación hiperbólica en el espacio-tiempo. Sabemos que este vector que transforma de esta manera tiene una propiedad geométria, su norma, que es invariante bajo TLE:
$$ \mathrm{d}s^2=|\mathrm{d}x^\mu|^2=\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}x_L^2-\mathrm{d}y_L^2-\mathrm{d}z_L^2 $$Podríamos generalizar este resultado para decir que cualquier otro vector que transforme de la manera en la que lo hace el vector intervalo tiene la misma propiedad. Así si una cantidad $A^\mu:(A^0,A^1,A^2,A^3)$ es tal que: $$ A^{\mu'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu}}A^\nu $$ entonces
$$ |A^\mu|^2=(A^0)^2-(A^1)^2-(A^2)^2-(A^3)^2 $$Una manera más interesante de generalizar lo que sabemos de vectores en el espacio euclidiano a vectores en el espacio de Minkowski es introducir el producto punto o producto interior, que para el vector prototipo (el vector desplazamiento) es:
$$ \mathrm{d}s^2=\mathrm{d}\tilde x\cdot \mathrm{d}\tilde x\equiv g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu $$y que se puede generalizar para cualquier par de vectores como:
$$ \tilde A\cdot \tilde B\equiv g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu $$o en términos explícitos:
$$ \tilde A\cdot \tilde B=A^0 B^0 - (A_L^1 B_L^1 + A_L^2 B_L^2 + A_L^2 B_L^2) $$Nota: componentes covariantes y regla de descenso de índices. Una vez definido el producto punto en el espacio de Minkowski es posible encontrar la relación entre las componentes covariantes y contravariantes de un cuadrivector. Sabemos que las componentes covariantes son:
$$ A_\mu=\tilde A\cdot\tilde e_{(\mu)} $$Si escribimos el tensor en términos de sus componentes contravariantes como $\tilde A=A^\nu \tilde e_{(\nu)}$ y usamos una base ortonormal obtenemos:
$$ A_\mu=g_{\mu\nu}A^\nu $$Nótese que esta operación parece denotar la idea de que el índice $\nu$ descendió por efecto de la multipicación por el tensor métrico y se convirtió en un $\mu$. Llamamos a esta una operación de descenso de índices.
En el espacio de Minkowski y en coordenadas cartesianas la operación de descenso de índices produce:
$$A_t=A^t, A_i=-A^i$$es decir las componentes covariantes espaciales de un cuadrivector son el negativo de las componentes contravariantes.
La suma de vectores y la multiplicación por un escalar están igualmente definidas en el espacio de Minkowski.
Como sucede en el espacio euclidiano cualquier expresión matemática que escribamos en términos vectoriales, así por ejemplo
$$ \vec A + \lambda \vec B $$definirá en sí misma un vector, que transforma como el vector desplazamiento y por lo tando es covariante bajo las TLE.
El postulado de relatividad o postulado de covariancia de las leyes de la naturaleza se puede formular ahora como una proposición:
Podemos definir una función escalar de variable real $f(s)$ como es usual (usaremos $s$ como letra para la variable independiente en lugar de $x$), una función tensorial de variable real $F^\mu(s)$ o $g_{\mu\nu}(s)$, una función escalar o tensorial de variable cuadrivectorial (normalmente de la cuadriposición) $f(x^\mu)$ o $F^\mu(x^\mu)$ o $g_{\mu\nu}(x^\mu)$.
Los conceptos regulares del cálculo también están definidos, tales como la derivación:
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} x^\mu(s):\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} t(s), \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \vec r_L(s), \right) $$donde $x^\mu(s)$ describe por ejemplo una línea de universo en el espacio-tiempo y $s$ puede entenderse como un parámetro que distingue cada punto en el espacio.
La integración:
$$ F(s)=\int_0^{s} f(s') \mathrm{d}s' $$o bien
$$ W=\int_0^{s} F^\mu(s')\cdot \mathrm{d}x^\mu(s') $$1.10.7. Minkowski y el postulado de los relojes¶
De la misma manera que definimos cualquier integral podemos definir la integral de línea fundamental:
$$ \tau=\int_0^{s'} \mathrm{d}s $$donde los $\mathrm{d}s$ son temporaloides. Esta es s la longitud de una curva arbitraria en el espacio tiempo.
Por el postulado de los relojes esta integral es también el tiempo propio de esa línea de universo.
1.10.8. Transformación general de cuadrivectores¶
Hemos visto que cualquier cantidad que transforme como
$$ A^{\mu'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu}}A^\nu $$es un cuadrivector.
En secciones anteriores habíamos visto una forma general de las transformaciones de Lorentz-Einstein para el cuadrivector posición $x^\mu:(t,\vec{r}_L$):
\begin{eqnarray} \nonumber t' & = & \gamma\left(t-\vec{u}_L\cdot \vec{r}_L\right) \\ \nonumber \vec{r}'_L & = & \vec{r}_L+\left(\frac{\gamma-1}{u_L^2} \vec{u}_L\cdot \vec{r}_L - \gamma t\right)\vec u_L \end{eqnarray}Esta regla aplicará también para el cuadrivector desplazamiento infinitesimal:
\begin{eqnarray} \mathrm{d}t' & = & \gamma\left(\mathrm{d}t-\vec{u}_L\cdot \mathrm{d}\vec{r}_L\right) \\ \mathrm{d}\vec{r}'_L & = & \mathrm{d}\vec{r}_L+\left(\frac{\gamma-1}{u_L^2} \vec{u}_L\cdot \mathrm{d}\vec{r}_L - \gamma \mathrm{d}t\right)\vec u_L \end{eqnarray}Estas relaciones pueden extenderse a cualquier cuadrivector $A^\mu:(A^0,\vec A)$:
\begin{eqnarray} A^{0'} & = & \gamma\left(A^0-\vec{u}_L\cdot \vec{A}_L\right) \\ \vec{A}'_L & = & \vec{A}_L+\left(\frac{\gamma-1}{u_L^2} \vec{u}_L\cdot \vec{A}_L - \gamma A^0\right)\vec u_L \end{eqnarray}