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1.15. Síntesis de Mecánica Relativista

Después de introducir las cantidades y postulados claves en las secciones anteriores, estamos listos para hacer una síntesis completa de la nueva mecánica, de la mecánica covariante o la mecánica relativista.

1.15.1. Síntesis de cinemática relativista

Las propiedades cinemáticas de una partícula se describen con las siguientes propiedades básicas:

• Cuadriposición: $x^\mu$
  • Indica la posición de un evento en el espacio tiempo.
  • Las componentes generales: $x^\mu:(ct,\vec{r})$
    • Componente temporal: $t$, tiempo coordenado.
    • Componentes espaciales: $\vec{r}$, vector posición.
  • En unidades luz:
    • Vector posición: $\vec{r}_L=\vec{r}/c$
    • Cuadrivector: $x_L^\mu:(t,\vec{r}_L)$
  • Módulo:
    • Temporaloide: Tiempo propio $\tau^2=t^2-r_L^2$
    • Espacialoide: Longitud propia $-\lambda_L^2=t^2-r_L^2$
  • Transformación de sistemas coorenadas:
    • General: $x^\mu=\Lambda^\mu_{\nu'} x^{\nu'}$
    • Vectorial: \begin{eqnarray} \nonumber t' & = & \gamma\left(t-\vec{u}_L\cdot \vec{r}_L\right) \\ \nonumber \vec{r}'_L & = & \vec{r}_L+\left(\frac{\gamma-1}{u_L^2} \vec{u}_L\cdot \vec{r}_L - \gamma t\right)\vec u_L \end{eqnarray}

• Cuadridesplazamiento: $\mathrm{d}x^{\mu}$
  • Intervalo infinitesimal entre dos eventos vecinos.
  • Las componentes generales: $\mathrm{d}x^\mu:(ct,\mathrm{d}\vec{r})$
  • En unidades luz:
    • Vector posición: $\mathrm{d}\vec{r}_L=\mathrm{d}\vec{r}/c$
    • Cuadrivector: $\mathrm{d}x_L^\mu:(\mathrm{d}t,\mathrm{d}\vec{r}_L)$
  • Módulo:
    • General: Intervalo $\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}r_L^2$
    • Temporaloide: Diferencial de tiempo propio $\mathrm{d}\tau^2=\mathrm{d}t^2-\mathrm{d}r_L^2$
    • Factor de Lorentz: $\mathrm{d}t=\gamma_v\mathrm{d}\tau$, $\gamma_v=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$.
  • Transformación de sistemas coorenadas:
    • General: $\mathrm{d}x^\mu=\Lambda^\mu_{\nu'} \mathrm{d}x^{\nu'}$

• Trivelocidad: $\vec{v}$

  • Definición: $\vec{v}\equiv\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t$.
  • Velocidad medida en el laboratorio.
  • En unidades luz: $\vec{v}_L=\vec{v}/c$
  • Factor de Lorentz: $\gamma_v=1/\sqrt{1-v_L^2}$.

  • Transformación de sistemas coorenadas:

    • Vectorial: \begin{eqnarray} \nonumber v_{L\parallel} & = & D(u_L+v'_{L\parallel})\\ \nonumber \vec{v}_{L\perp} & = & \frac{D}{\gamma_u}\vec{v}'_{L\perp}\\ \end{eqnarray} donde

    $$ D\equiv \frac{1}{1+\vec{u}_L\cdot \vec{v}'_{L}} $$

• Cuadrivelocidad: $U^\mu$
  • Definición: $U^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}\tau$.
  • Solo se define en líneas de universo (elemento de línea temporaloide).
  • Las componentes generales: $$U^\mu:\left(\frac{\mathrm{d}(ct)}{\mathrm{d}\tau},\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\tau}\right)$$
  • En unidades convencionales: $$U^\mu:\gamma\left(c,\vec{v}\right)$$
  • En unidades luz:
    • Vector posición: $U_L^\mu=U^\mu/c$
    • Componente temporal: $U_L^0=\mathrm{d}t/\mathrm{d}\tau=\gamma$, velocidad en el tiempo.
    • Componentes espaciales: $\vec{U}_L=\mathrm{d}\vec{r}_L/\mathrm{d}\tau=\gamma \vec{v}_L$, velocidad escalada.
  • Componentes explícitas:
    • Unidades luz: $$U_L^\mu:\gamma\left(1,\vec{v}_L\right)$$
  • Módulo:
    • Unidades convencionales: $|U^\mu|=c$.
    • Unidades luz: $|U_L^\mu|=1$.
  • Transformación de sistemas coorenadas:
    • General: $U^\mu=\Lambda^\mu_{\nu'} U^{\nu'}$

• Triaceleración: $\vec{a}$
  • Definición: $\vec{a}\equiv\mathrm{d}\vec{v}/\mathrm{d}t=\mathrm{d}^2\vec{r}/\mathrm{d}t^2$.
  • Aceleración medida en el laboratorio.
  • En unidades luz: $\vec{a}_L=\vec{a}/c$

• Cuadriaceleracion: $A^\mu$
  • Definición: $A^\mu=\mathrm{d}U^\mu/\mathrm{d}\tau=\mathrm{d}^2 x^\mu/\mathrm{d}\tau^2$.
  • Las componentes generales: $$A^\mu:\left(\frac{\mathrm{d}(\gamma c)}{\mathrm{d}\tau},\frac{\mathrm{d}(\gamma\vec{v})}{\mathrm{d}\tau}\right)$$
  • Componentes explícitas en unidades convencionales $$A^\mu:\gamma^4\left(\vec{a}\cdot\frac{\vec{v}}{c},\vec{a}\right)$$
  • Componentes explícitas en unidades luz: $$A_L^\mu:\gamma^4\left(\vec{a}_L\cdot\vec{v}_L,\vec{a}_L\right)$$
  • Módulo:
    • Aceleración propia: $|A_L^\mu|^2=-\alpha_L^2$.
    • Relación componentes: $\alpha_L^2 = |\vec{A}_L|^2 - (A_L^0)^2$.
  • Ortogonalidad: la aceleración siempre es ortogonal a la cuadrivelocidad, $$A^\mu U_\mu=A_L^0U_L^0-\vec{A}_L\cdot\vec{U}_L=0$$

1.15.2. Síntesis de dinámica relativista

• Masa invariante: $m$
  • Masa de una partícula (valor constante).
  • Es una cantidad escalar y no depende del observador.

• Trimomentum: $\vec p$
  • Definición: $\vec p\equiv \gamma_v m \vec v$.
  • Momento lineal medido en el laboratorio.
  • Se conserva en todas las colisiones.
  • En unidades luz: $\vec{p}_L^\mu=\vec{p}/c$

• Energía cinética relativista: $k$
  • Definición: $k\equiv\int_0^{p} \vec v\cdot \mathrm{d}\vec p$.
  • En unidades luz: $k_L=k/c^2$
  • Explícitamente como función de la velocidad:
    • En unidades luz: $k_L=(\gamma-1)m$
    • En unidades convencionales: $k=(\gamma-1)m c^2$

• Energía total relativista: $E$
  • Definición: $E\equiv m c^2 + k$.
  • La energía total de una partícula se conserva.
  • Unidades luz: $E_L=E/c^2=m+k_L$
  • Expresión única:
    • En unidades convencionales: $E=\gamma m c^2$.
    • En unidades luz: $E_L=\gamma m$.

• Cuadrimomentum: $P^\mu$
  • Definición: $P^\mu \equiv m U^\mu$.
  • El cuadrimomento de un sistema aislado de partículas se conserva.
  • Las componentes generales: $$P^\mu:\left(m\frac{\mathrm{d}(ct)}{\mathrm{d}\tau},m\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\tau}\right)$$
  • En unidades convencionales: $P^\mu:\left(\gamma mc,\gamma m\vec{v}\right)$
  • En términos de la energía y el trimomentum: $P^\mu:\left(E/c,\vec{p}\right)$
  • En unidades luz: $P_L^\mu=P^\mu/c$.
  • En términos de la energía y el trimomentum: $P_L^\mu:\left(E_L,\vec{p}_L\right)$
  • Módulo:
    • En unidades convencionales: $(mc^2)^2 = (E)^2 - (pc)^2$
    • En unidades luz: $m^2 = E_L^2 - p_L^2$

• Trifuerza: $\vec{\cal F}$
  • Definición: $\vec{\cal F}\equiv\mathrm{d}\vec p/\mathrm{d}t=\mathrm{d}(\gamma m\vec v)/\mathrm{d}t$
  • Fuerza medida en el laboratorio.
  • En unidades convencionales: $\vec{F}_L=\vec{F}/c$.
  • Relación con la aceleración:
    • General: $\gamma m \vec{a}_L=\vec{\cal F}_L-(\vec{\cal F}_L\cdot\vec{v}_L)\vec{v}_L$
    • Componentes: \begin{eqnarray} \nonumber {a}_{\parallel} & = & \frac{1}{\gamma^3 m}{F}_{\parallel}\\ \nonumber \vec{a}_{\perp} & = & \frac{1}{\gamma m}\vec{F}_{\perp} \end{eqnarray}
  • Transformación:
    • Componentes: \begin{eqnarray} F_\parallel & = & \frac{F'_{L\parallel}+\vec u_L\cdot\vec{F}'_L}{1+\vec{v}'_L\cdot\vec{u}_L}\\ F_\perp & = & \frac{\gamma_u^{-1}F'_{L\perp}}{1+\vec{v}'_L\cdot\vec{u}_L}\\ \end{eqnarray}

• Cuadrifuerza: $f^\mu$
  • Definición: $f^\mu \equiv \mathrm{d}P^\mu/\mathrm{d}\tau$.
  • Ley de fuerza generalizada: $f^\mu = m A^\mu$.
  • Componentes explícitas:
    • En unidades luz: $f_L^\mu:\gamma^4 (m \vec{a}_L\cdot \vec{v}_L,m\vec{a}_L)$
    • En unidades convencionales: $f^\mu:\gamma^4 (m \vec{a}\cdot\vec{v}/c,m\vec{a})$

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