1.16. Óptica relativista¶
Para entender la manera en la que las propiedades de la luz transforman de un observador inercial a otro en relatividad especial (óptica relativista). Consideremos el hecho de que cualquier onda monocromática se puede describir en el espacio-tiempo usando el cuadrivector de propagación:
$$ k_L^\mu:\frac{2\pi}{\lambda}(1,\hat k) $$donde $\hat k$ es la dirección de propagación de la onda y $\lambda$ es la longitud de onda.
La relación de dispersión de la onda en el vacío será:
$$ \lambda \nu = c $$donde $\nu$ es la frecuencia.
Esta cantidad debe transformar como lo hace cualquier cuadrivector:
\begin{eqnarray} k^{0} & = & \gamma\left(k^{0'}+\vec{u}_L\cdot \vec{k'}_L\right) \\ \vec{k}_L & = & \vec{k'}_L+\left(\frac{\gamma-1}{u_L^2} \vec{u}_L\cdot \vec{k'}_L+\gamma k^{0'}\right)\vec u_L \end{eqnarray}1.16.1. Efecto Doppler relativista¶
Supongamos que emitimos una onda monocromática en dirección de $x$ (la misma dirección de la velocidad relativa entre los sistemas). En este caso:
$$ k^\mu:\frac{2\pi}{\lambda}(1,1,0,0) $$La ecuación de transformación de la componente temporal del cuadrivector de propagación será:
$$ \frac{2\pi}{\lambda}=\gamma\left(\frac{2\pi}{\lambda'}+u_L \frac{2\pi}{\lambda'}\right) $$De donde obtenemos:
$$ \frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\lambda'}\frac{1+u_L}{\sqrt{1-u_L^2}} $$Si identificamos $\lambda_\mathrm{em}=\lambda'$ y $\lambda_\mathrm{obs}=\lambda$, entonces:
$$ \lambda_\mathrm{obs}=\lambda_\mathrm{em}\sqrt{\frac{1-u_L}{1+u_L}} $$Nótese que si $u_L\ll 1$ y usamos el teorema del binomio para expandir el factor en el radical en el lado derecho:
$$ \lambda_\mathrm{obs}=\lambda_\mathrm{em}(1-\frac{1}{2}u_L+\ldots)(1-\frac{1}{2}u_L+\ldots) $$conservando solo los términos lineales en $u_L$ obtenemos:
$$ \lambda_\mathrm{obs}\approx\lambda_\mathrm{em}(1-u_L) $$que se puede escribir como:
$$ \frac{\lambda_\mathrm{em}-\lambda_\mathrm{obs}}{\lambda_\mathrm{em}}\approx u_L $$De aquí identificamos el corrimiento al rojo clásico:
$$ z=u_L $$1.16.2. Aberración de la luz¶
Veámos ahora que pasa con un rayo de luz emitido en una dirección diferente de $\vec u_L$. En este caso la transformación de las componentes espaciales del vector de propagación será:
\begin{eqnarray} k^{0} & = & \gamma\left(k^{0'}+\vec{u}_L\cdot \vec{k'}_L\right) \\ \vec{k}_L & = & \vec{k'}_L+\left(\frac{\gamma-1}{u_L^2} \vec{u}_L\cdot \vec{k'}_L+\gamma k^{0'}\right)\vec u_L \end{eqnarray}Identificando $k^0=2\pi/\lambda$ y $\vec k_L=2\pi/\lambda \hat k$ y dividiendo la segunda ecuación por la primera, obtenemos:
$$ \hat k = \frac {\hat{k'}+\left(\frac{\gamma-1}{u_L^2} \vec{u}_L\cdot \hat{k'}+\gamma \right)\vec u_L} {\gamma(1+\vec{u}_L\cdot\hat{k'})} $$Consideremos ahora el caso particular en el que $\hat k$ se encuentra sobre el plano $x-y$ y se puede parametrizar como:
$$ \begin{array}{rcl} \hat k & = & \cos\theta \hat{e}_x+\sin\theta \hat{e}_y\\ \hat k' & = & \cos\theta' \hat{e}_x+\sin\theta' \hat{e}_y \end{array} $$La componente temporal queda:
$$ \frac{1}{\lambda_\mathrm{obs}}=\frac{1}{\lambda_\mathrm{obs}}\gamma(1+u_L\cos\theta') $$De aquí se obtiene que si $\theta'=0$ se reproduce la fórmula del efecto Doppler.
Pero hay un resultado más interesante que se obtiene si $\theta'=\pi/2$. En este caso:
$$ \lambda_\mathrm{obs}^\perp = \frac{1}{\gamma}\lambda_\mathrm{em} $$que se conoce como el efecto Doppler transversal.
Al reemplazar $\hat k$ y $\hat k'$ en la ley de transformación obtenemos:
\begin{eqnarray} \cos\theta & = & \frac{\cos\theta'+u_L}{1+u_L\cos\theta'}\\ \sin\theta & = & \frac{\sin\theta'}{\gamma(1+u_L\cos\theta')} \end{eqnarray}que puede probarse cumplen $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
Si introducimos el denominado factor Doppler:
$$ D(u_L,\theta)\equiv\frac{1}{\gamma(1-u_L\cos\theta)} $$Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como:
\begin{eqnarray} \cos\theta & = & \gamma D'(\cos\theta'+u_L)\\ \sin\theta & = & D' \sin\theta' \end{eqnarray}donde $D'=D(-u_L,\theta')$.
1.16.3. Aberración de la luz¶
¿Qué pasa cuando $\cos\theta'=0$?. En este caso en el sistema del Observador se ve:
$$ \cos\theta=u_L $$Es decir, la luz que debería llegar al observador de la vertical aparece en un ángulo muy pequeño desviada respecto a esa vertical. A este fenómeno se lo llama aberración de la luz.
La aberración de la luz es un fenómeno bien conocido en astronomía desde los 1800 cuando se descubrió por observaciones cuidadosas de la posición de las estrellas y en busca del paralaje estelar.
El ángulo de paralaje $\phi$ (que sería el $\theta$ en nuestras expresiones previas) se calcula combinando las expresiones obtenidas antes, donde de acuerdo con la figura ahora $\theta'$ es el que llamamos $\theta$ (ángulo de emisión en el sistema de referencia en reposo):
$$ \tan\phi=\frac{\sin\theta}{\gamma(u_L+\cos\theta)} $$La aberración máxima se produce cuando $\theta=90^\circ$ en cuyo caso:
$$ \tan\phi_\mathrm{max}=\frac{1}{\gamma u_L} $$En el caso por ejemplo de la Tierra y para una fuente que debería encontrarse en el cenit ($\theta=90^\circ$), lo que nos interesará será la diferencia entre este ángulo y 90 grados:
$$ \kappa=\pi/2-\phi_\mathrm{max} $$que se conoce en astronomía como la constante de aberración.
c=299792.458 #km/s, Velocidad de la luz
u=29.78 #km/s, Velocidad de la Tierra
uL=u/c
from numpy import arctan,sin,cos,sqrt,pi
gamma=1/sqrt(1-uL**2)
phi=arctan(1/(gamma*uL))
k=pi/2-phi
print(f"Aberración máxima en la Tierra: {k*180/pi*3600} arcsec")
El valor estándar en astronomía es $\kappa=20.49552$ arcsec.
La aberración real de una estrella debenderá de su posición en el cielo y de la época del año en la que se la observe, pero nunca supera el máximo arriba.
1.16.4. Enfoque relativista¶
Imagine que desde una fuente astrofísica que se mueve con velocidad $\vec u_L$ repecto al observador, emite radiación en todas las direcciones. ¿En qué direcciones se verá venir la radiación? ¿cómo se distribuye la potencia de la radiación de la fuente?
Si la emisión es isotrópica una cuarta parte de la radiación se emitirá entre $\theta'=0$ y $\theta'=\pi/2$. Sin embargo, en el sistema de referencia del observador esa misma energía se emitirá entre $\theta=0$ y $\theta=\theta_b<\pi/2$ donde $\theta_b$ se conoce como el ángulo de enfoque y es igual a:
$$ \cos\theta_b=u_L $$o bien:
$$ \theta_b=\cos^{-1} u_L $$Es posible mostrar que para $\gamma\gg 1$ el ángulo de enfoque es:
$$ \theta_b\approx\frac{1}{\gamma} $$El efecto del beaming relativistico puede observarse especialmente en sistemas astrofísicos tales como las explosiones de rayos gamma o los jets relativistas emitidos por discos de acreción alrededor de agujeros negros.
